Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Она касается $AC$ в точке $D$, поэтому $OD\perp AC$ и $OD=R$. Так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе каждого угла треугольника, $AO$ — биссектриса угла $BAC$. В прямоугольном треугольнике $AOD$ ($\angle ODA=90^\circ$) даны $OD=AD=R$, значит он равнобедренный, и $\angle OAD=45^\circ$. Так как $AO$ — биссектриса, весь угол $\angle BAC=2\cdot45^\circ=90^\circ$. Значит, треугольник прямоугольный с прямым углом при $A$.

б) По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, они равны: $AE=AD=R=5$, $CF=CD=15$, а $BE=BF=x$ (общее значение, так как обе касательные выходят из $B$).

Тогда стороны треугольника: $AC=AD+DC=5+15=20$, $AB=AE+EB=5+x$, $BC=CF+FB=15+x$.

Так как угол $A=90^\circ$, по теореме Пифагора $BC^2=AC^2+AB^2$: $$(15+x)^2=20^2+(5+x)^2.$$ Раскрываем и решаем: $225+30x+x^2=400+25+10x+x^2 \Rightarrow 20x=200 \Rightarrow x=10.$

Тогда $BE=BF=10$, $BC=25$, $AB=15$.

Найдём синус угла $B$ через отношение противолежащего катета к гипотенузе: $$\sin\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}.$$

Площадь треугольника $BEF$ (стороны $BE$ и $BF$ с углом между ними — тот же угол $B$): $$S_{BEF}=\frac12\cdot BE\cdot BF\cdot\sin\angle ABC=\frac12\cdot10\cdot10\cdot\frac45=40.$$