Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Отрезки касательных из вершины $C$ равны: $CM=CN$, значит треугольник $MCN$ равнобедренный, и его углы при основании $MN$ равны $\dfrac{180^\circ-\angle C}{2}$.

Так как $E,F$ — середины сторон $AB,AC$, отрезок $EF$ — средняя линия, поэтому $EF\parallel BC$, то есть $FD\parallel CM$. Значит углы, которые прямая $MN$ образует с $EF$ и с $BC$, равны (соответственные углы при параллельных прямых). Отсюда треугольник $DFN$ подобен треугольнику $MCN$ с тем же отношением углов при основании — то есть он тоже равнобедренный: $DF=NF$.

б) Введём $a=BC,\ b=AC,\ c=AB$, $p$ — полупериметр. Из свойства касательных к вписанной окружности $CM=CN=p-c=\dfrac{a+b-c}{2}$.

По средней линии $EF=\dfrac{a}{2}$, $CF=\dfrac{b}{2}$, $BE=\dfrac{c}{2}$.

Тогда $FD=FN=CN-CF=\dfrac{a+b-c}{2}-\dfrac{b}{2}=\dfrac{a-c}{2}$.

Отсюда $ED=EF-FD=\dfrac{a}{2}-\dfrac{a-c}{2}=\dfrac{c}{2}=BE$ — треугольник $BED$ равнобедренный, что подтверждает симметрию конструкции.

Поскольку $ED\parallel BC$ (это часть прямой $EF$), угол $\angle BED$ — внешний по отношению к $\angle ABC$ при параллельных прямых, значит $\angle BED=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

При $c=AB=20$ получаем $BE=ED=\dfrac{c}{2}=10$.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: $$S_{BED}=\frac12\cdot BE\cdot ED\cdot\sin\angle BED=\frac12\cdot10\cdot10\cdot\sin120^\circ=\frac12\cdot100\cdot\frac{\sqrt3}{2}=25\sqrt3.$$