ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Вписанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Свойства касательных, секущихОкружности и треугольники

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а)  Докажите, что треугольник ABC  ― равнобедренный.

б)  Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2a.

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Использовать свойство точки O (пересечение биссектрис) и параллельность OC∥QP для доказательства равнобедренности через равенство углов, а затем построить среднюю линию через Q, параллельную AC, чтобы через свойства касательных и подобие треугольников найти все нужные длины и высоту QT для площади.

а) Пусть биссектриса угла C (то есть прямая CO) пересекает AB в точке D, и обозначим ∠BCO=∠DCO=α\angle BCO=\angle DCO=\alpha, ∠COP=x\angle COP=x. Так как OC∥QPOC\parallel QP, а OP — секущая, накрест лежащие углы равны: ∠OPQ=x\angle OPQ=x. В прямоугольном треугольнике OPCOPC (радиус OP перпендикулярен касательной BC) сумма острых углов равна π2\dfrac{\pi}{2}, отсюда x=π2−αx=\dfrac{\pi}{2}-\alpha. Треугольник OPQOPQ равнобедренный (OP=OQ как радиусы), значит ∠POQ=π−2x=2α\angle POQ=\pi-2x=2\alpha. Это означает, что угол между BO и BC вдвое больше угла между CO и CB, то есть биссектриса BD треугольника попадает так, что треугольники BOPBOP и BCDBCD подобны — а из этого следует, что биссектриса угла B является одновременно высотой к стороне AC. Биссектриса, совпадающая с высотой, бывает только в равнобедренном треугольнике, значит AB=ACAB=AC.

б) Из условия BO:OD=3:1BO:OD=3:1 следует, что DO=OQDO=OQ (OQ — тот же отрезок радиуса, что и OP по свойству вписанной окружности), поэтому BQ=QDBQ=QD — точка Q делит BD пополам от середины.

Через Q проведём прямую, параллельную AC, до пересечения с BC в точке N. Тогда QN — средняя линия треугольника BDCBDC, поэтому QN=DC2=a2QN=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{a}{2}, а N — середина BC, то есть BN=CNBN=CN.

По свойству равных отрезков касательных из одной точки: NP=QN=a2NP=QN=\dfrac{a}{2}, CP=DC=aCP=DC=a (так как D и P — точки касания, а высота BD совпадает с медианой). Тогда BN=CN=CP+PN=a+a2=3a2BN=CN=CP+PN=a+\dfrac{a}{2}=\dfrac{3a}{2}.

В прямоугольном треугольнике BQNBQN (угол при N прямой, так как QN — средняя линия, параллельная AC, а BD — высота) находим: BQ=BN2−QN2=9a24−a24=2a.BQ=\sqrt{BN^2-QN^2}=\sqrt{\dfrac{9a^2}{4}-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{2}a.

Опустим QT перпендикулярно BC. Площадь треугольника BQNBQN можно выразить двумя способами: как 12⋅QN⋅BQ\dfrac12\cdot QN\cdot BQ и как 12⋅BN⋅QT\dfrac12\cdot BN\cdot QT, отсюда QT=BQ⋅QNBN=2a⋅a23a2=2a3.QT=\dfrac{BQ\cdot QN}{BN}=\dfrac{\sqrt2 a\cdot \frac{a}{2}}{\frac{3a}{2}}=\dfrac{\sqrt2 a}{3}.

Теперь BP=BN+NP=3a2+a2=2aBP=BN+NP=\dfrac{3a}{2}+\dfrac{a}{2}=2a (либо сразу BP=BC−CPBP=BC-CP). Площадь искомого треугольника: SBQP=12⋅BP⋅QT=12⋅2a⋅2a3=a223.S_{BQP}=\dfrac12\cdot BP\cdot QT=\dfrac12\cdot 2a\cdot\dfrac{\sqrt2 a}{3}=\dfrac{a^2\sqrt2}{3}.

Типичные ошибки

  • Неверное определение накрест лежащих углов при доказательстве параллельности, что приводит к ошибке в соотношении углов α и x
  • Путаница в том, какие отрезки касательных равны (забывают, что CP=DC и NP=QN как отрезки касательных из одной точки)
  • Ошибка в определении, что QN — средняя линия именно треугольника BDC, а не всего треугольника, из-за чего неверно находят длину QN и положение точки N
Непонятно?

Похожие задачи