Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть $\angle A=2\alpha,\ \angle B=2\beta$. Так как $O$ — центр вписанной окружности, $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, поэтому $\angle BAO=\alpha,\ \angle ABO=\beta$.

Угол $BOK$ — внешний для треугольника $AOB$ при вершине $O$, значит $\angle BOK=\angle BAO+\angle ABO=\alpha+\beta$.

По условию $BK=OK$, треугольник $BOK$ равнобедренный, поэтому $\angle OBK=\angle BOK=\alpha+\beta$.

Отсюда $\angle CBK=\angle OBK-\angle CBO=(\alpha+\beta)-\beta=\alpha$.

Так как $K$ лежит на луче $AO$ (биссектрисе угла $A$), то $\angle KAC=\angle OAC=\alpha$.

Получили $\angle CBK=\angle KAC=\alpha$ — эти углы опираются на один и тот же отрезок $CK$ и лежат по одну сторону от него, следовательно точки $A,B,K,C$ лежат на одной окружности (по признаку равенства вписанных углов, опирающихся на общую хорду).

б) Обозначим $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$. Пусть $H$ — проекция $O$ на $AB$, тогда $OH=r$. В прямоугольном треугольнике $AOH$ угол при $A$ равен $\alpha$, поэтому $$AO=\dfrac{r}{\sin\alpha}.$$

Поскольку $A,B,K,C$ лежат на одной окружности, эта окружность совпадает с описанной около $ABC$, то её радиус равен $R$. В треугольнике $ABK$ угол $\angle BAK=\angle BAO=\alpha$, по теореме синусов $$\dfrac{BK}{\sin\alpha}=2R\ \Rightarrow\ \sin\alpha=\dfrac{BK}{2R}.$$

Подставляя, получаем $$AO=\dfrac{r}{\sin\alpha}=\dfrac{r\cdot 2R}{BK}=\dfrac{2rR}{OK}$$ (так как $BK=OK$ по условию).

Подставляя $r=3,\ R=12,\ OK=5$: $$AO=\dfrac{2\cdot3\cdot12}{5}=\dfrac{72}{5}=14{,}4.$$