Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

Обозначения. Так как треугольник равнобедренный с основанием $AC$, высота $BD$ совпадает с биссектрисой угла $B$ и медианой, поэтому центр вписанной окружности $O$ лежит на $BD$, а точка $D$ — середина $AC$. Пусть $\angle BCO=\angle DCO=\alpha$ (так как $CO$ — биссектриса угла $C$, $O$ — центр вписанной окружности), $\angle COP=x$, $\angle OPQ=y$.

а) $OP\perp BC$ (радиус в точку касания), $BD\perp AC$. Прямоугольные треугольники $BOP$ и $BCD$ имеют общий угол при $B$, значит они подобны, откуда $\angle BOP=\angle BCD=2\alpha$. Из прямоугольного треугольника $OPC$: $x=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$. Треугольник $OPQ$ равнобедренный ($OP=OQ=r$), его угол при вершине связан с $\angle BOP$, и базовый угол получается $y=\dfrac{\pi-2\alpha}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$. Значит $x=y$ — это накрест лежащие углы при секущей $OP$ для прямых $PQ$ и $OC$, поэтому $PQ\parallel OC$.

б) $CO$ — биссектриса угла $C$ в треугольнике $BCD$, поэтому по свойству биссектрисы $\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{OD}{OB}=\dfrac13$, откуда $BC=3DC$. По симметрии несёт точку касания на $AC$ в середину $D$, значит тангенциальные отрезки от $C$ равны: $CP=DC=m$ (т.к. $DC=AC/2=m$). Тогда $BC=3m$, $BP=BC-CP=2m$.

Треугольники $BPO$ и $CPO$ имеют общую высоту из $O$, поэтому их площади в отношении оснований: $S_{BPO}=2S_{CPO}$. Треугольники $CPO$ и $CDO$ равны (по двум катетам $CP=CD$, $OP=OD=r$), значит $S_{CPO}=S_{CDO}$. Отсюда $S_{OBC}=S_{BPO}+S_{CPO}=3S_{CDO}$, а $S_{BCD}=S_{OBC}+S_{CDO}=4S_{CDO}$, значит $S_{OBC}=\dfrac34 S_{BCD}$.

Так как $D$ — середина $AC$, $S_{BCD}=\dfrac12 S_{ABC}$, поэтому $S_{OBC}=\dfrac38 S_{ABC}$.

Стороны треугольника: $AC=2m$, $AB=BC=3m$. По формуле Герона: полупериметр $p=4m$, $$S_{ABC}=\sqrt{4m\cdot2m\cdot m\cdot m}=2m^2\sqrt2.$$

Окончательно: $$S_{OBC}=\dfrac38\cdot2m^2\sqrt2=\dfrac{3m^2\sqrt2}{4}.$$