Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) $BO$ и $AO$ — биссектрисы углов $B$ и $A$ (центр вписанной окружности лежит на биссектрисах). Пусть $\angle OBA=\angle MNA=\alpha$ (равенство — из параллельности $NM\parallel BO$, как соответственные углы при секущей $AB$). Так как $BN$ — касательная, $ON\perp AB$, значит $\angle ONA=90^\circ$, откуда $\angle ONM=90^\circ-\alpha$. Треугольник $ONM$ равнобедренный ($ON=OM$ — радиусы), поэтому $\angle OMN=90^\circ-\alpha$, а $\angle NOM=180^\circ-2(90^\circ-\alpha)=2\alpha$. Из прямоугольного $\triangle ANO$: $\angle NAO=90^\circ-2\alpha$, значит $\angle BAC=2(90^\circ-2\alpha)=180^\circ-4\alpha$. Тогда $\angle ABC=\angle ACB=2\alpha$, то есть треугольник равнобедренный.

б) Из а) $\angle ABC=2\alpha$, значит $\cos2\alpha=\dfrac79$. По формуле косинуса двойного угла $\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}=\dfrac89$, $\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt2}{3}$, $\sin\alpha=\dfrac13$.

Пользуясь параллельностью $NM\parallel BO$, находим угол $\angle MOL=90^\circ-\alpha$. Площадь $BNML$ раскладываем на три треугольника $BNO,\,NOM,\,MOL$ через $ON=OM=r$, $BO=\dfrac{r}{\sin\alpha}$: $$S_{BNML}=\frac12 r^2\Big(2\sqrt2+\frac{4\sqrt2}{9}+\frac{2\sqrt2}{3}\Big)=\frac{14\sqrt2}{9}r^2.$$

Высота $AK$ (равная биссектрисе, так как треугольник равнобедренный) равна $AO+OK=\dfrac{r}{\cos2\alpha}+r=\dfrac{16}{7}r$, а основание $BC=6r$ (через $\sin\alpha$). Тогда $$S_{ABC}=\frac12\cdot\frac{16}{7}r\cdot6r=\frac{48}{7}r^2.$$

Итоговое отношение: $$\frac{S_{BNML}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{14\sqrt2}{9}r^2}{\frac{48}{7}r^2}=\frac{49\sqrt2}{216}.$$