Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $KLM$, значит $LO$ — биссектриса угла $KLM$. Окружность с центром $O_1$ вписана в угол, образованный основанием $ML$ и продолжением боковой стороны $KL$, поэтому $LO_1$ — биссектриса угла, смежного с $KLM$ (угла $CLM$, где $C$ — точка касания на продолжении $KL$). Биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны, значит $\angle OLO_1=90^\circ$, то есть треугольник $OLO_1$ прямоугольный.

б) Так как треугольник равнобедренный, высота из вершины $K$ к основанию $ML$ совпадает с биссектрисой угла $K$, а значит проходит через центр $O$ и точку касания $A$. Поэтому $K,\,O,\,A$ лежат на одной прямой, и $$KO=KA-OA=16-6=10.$$ В прямоугольном треугольнике $KOB$ (угол $B=90^\circ$, так как радиус перпендикулярен касательной) по теореме Пифагора: $$KB=\sqrt{OK^2-OB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.$$ Треугольники $KBO$ и $KAL$ подобны (общий угол $K$, оба прямоугольные), поэтому $$\frac{AL}{OB}=\frac{AK}{KB}\ \Rightarrow\ AL=\frac{AK\cdot OB}{KB}=\frac{16\cdot 6}{8}=12.$$ Поскольку обе окружности касаются одной и той же прямой $ML$ в точке $A$ (в силу симметрии равнобедренного треугольника), точка $A$ лежит на отрезке $OO_1$ и является основанием высоты, опущенной из прямого угла $L$ прямоугольного треугольника $OLO_1$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике она является средним геометрическим отрезков, на которые делит гипотенузу: $$LA^2=OA\cdot O_1A.$$ Отсюда $$r_1=O_1A=\frac{AL^2}{OA}=\frac{12^2}{6}=24.$$