Задание 17 ЕГЭ по математике: окружности и многоугольники

Что проверяет задание

Задание 17 профильного ЕГЭ — планиметрическая задача с двумя пунктами: в пункте а) требуется что-то доказать (равенство углов, подобие, перпендикулярность, вид фигуры), а в пункте б) — вычислить числовую величину (длину, площадь, отношение отрезков), опираясь на доказанное в пункте а).

Задание проверяет:

• знание свойств треугольников и четырёхугольников, их особых точек (центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения медиан, биссектрис, высот);
• умение работать со вписанными и описанными окружностями (хорды, касательные, вписанные углы);
• владение теоремами синусов и косинусов, признаками подобия;
• способность выстраивать строгое логическое доказательство и грамотно оформлять решение.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная структура: дан треугольник или четырёхугольник (часто трапеция), в нём проведены дополнительные линии — биссектриса, медиана, касательная, вписанная или описанная окружность. Пункт а) формулируется как «докажите, что…», пункт б) — «найдите…», причём вычисление обычно опирается на факт из пункта а).

Задание оценивается в 3 первичных балла:

• 3 балла — оба пункта решены верно и полностью обоснованы;
• 2 балла — доказательство пункта а) верно, ответ пункта б) верный, но есть небольшие пробелы (или наоборот);
• 1 балл — доказано только а), либо получен верный числовой ответ в б) с верными выкладками, но без обоснования;
• 0 баллов — решение не соответствует перечисленным случаям.

Важно: без строгого доказательства пункта а) баллы за пункт б) часто не засчитывают, даже при верном ответе, — требуется полная логическая цепочка.

Что нужно знать

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$ от вершины; длина медианы $m_a=\dfrac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$.
• Биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}$.
• Инцентр делит биссектрису из вершины $A$ в отношении $AI:IM=(AB+AC):BC$.
• Радиус вписанной окружности треугольника: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
• Радиус описанной окружности: $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a}{2\sin A}$.
• Теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
• Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны.
• Теорема о произведении отрезков хорд/секущих/касательной: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.
• Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
• Четырёхугольник описан около окружности тогда и только тогда, когда $a+c=b+d$.
• Теорема Птолемея: $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Площадь: $S=\dfrac12ab\sin C$; формула Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Методы решения

1. Вписанные углы и касательные. Если есть окружность и касательная, ищите угол между касательной и хордой — он равен вписанному углу на другую дугу. Пример: касательная в точке $L$ и хорда $LN$ образуют угол, равный вписанному углу $\angle LKN$.

2. Признаки подобия треугольников. При наличии параллельных прямых или равных углов ищите пару подобных треугольников. Пример: если $LM\parallel KN$, накрест лежащие углы равны, и вместе с вписанным углом это даёт $\triangle LMN\sim\triangle KLN$.

3. Свойства биссектрисы и инцентра. Используйте $BM:MC=AB:AC$ и деление биссектрисы инцентром в отношении $(b+c):a$. Пример: при $AB=6$, $AC=9$, $BC=5$ инцентр делит $AM$ в отношении $15:5=3:1$.

4. Метод площадей. Отношение площадей с общей высотой равно отношению оснований, а с общим углом — произведению прилежащих сторон. Полезно для нахождения отрезков без явных углов.

5. Координатный или векторный метод. Если синтетическое доказательство громоздко, вводите координаты (например, основание на оси $Ox$) и находите точки через уравнения — удобный запасной способ и проверка ответа.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и сделать крупный аккуратный чертёж со всеми точками и отрезками.
2. Выписать все числовые данные рядом с чертежом.
3. Определить тип фигуры и применимые теоремы (вписанные углы, касательные, подобие, биссектрисы).
4. В пункте а) выстроить цепочку равенств углов или отрезков — строгое логическое доказательство.
5. В пункте б) выразить искомую величину через установленные соотношения и решить уравнение.
6. Проверить результат на правдоподобность: положительность длин, неравенство треугольника, соответствие чертежу.
7. Оформить решение по пунктам а) и б) с ссылками на использованные теоремы.

Разбор примеров

Пример 1. Медианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, $AC=3MB$. а) Докажите, что $ABC$ прямоугольный. б) Найдите $AA_1^2+CC_1^2$ при $AC=10$.

Точка пересечения медиан делит их в отношении $2:1$: $BM=\dfrac23BB_1$, значит $BB_1=\dfrac32BM$. Из условия $BM=\dfrac13AC$, поэтому $BB_1=\dfrac12AC$. Так как $B_1$ — середина $AC$, то $B_1A=B_1C=\dfrac12AC=BB_1$, значит треугольники $AB_1B$ и $CB_1B$ равнобедренные, откуда $\angle B_1AB=\angle ABB_1$ и $\angle B_1CB=\angle CBB_1$. Из суммы углов $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ получаем $2\angle B=180^\circ$, то есть $\angle B=90^\circ$.

По теореме Пифагора: $AA_1^2=\dfrac14BC^2+AB^2$, $CC_1^2=\dfrac14AB^2+BC^2$. Складывая: $AA_1^2+CC_1^2=\dfrac54(AB^2+BC^2)=\dfrac54AC^2=\dfrac54\cdot100=125$.

Ответ: $125$.

Пример 2. В трапеции $KLMN$ ($KN\parallel LM$) описана окружность около $\triangle KLN$, прямые $LM$ и $MN$ касаются её. а) Докажите $\triangle LMN\sim\triangle KLN$. б) Найдите площадь $\triangle KLN$ при $KN=3$, $\angle LMN=120^\circ$.

По теореме о касательной и хорде $\angle MLN=\angle LKN$ и $\angle MNL=\angle LKN$, значит $\angle MLN=\angle MNL$ — $\triangle LMN$ равнобедренный. Так как $LM\parallel KN$, то $\angle MLN=\angle LNK$, вместе с предыдущим $\angle LNK=\angle LKN$ — $\triangle KLN$ тоже равнобедренный ($LK=LN$). Углы при основаниях равны, значит по двум углам $\triangle LMN\sim\triangle KLN$.

Углы при основании $\triangle LMN$: $\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$, у $\triangle KLN$ те же $30^\circ$. Пусть $LK=LN=b$, тогда $KN=b\sqrt3=3$, $b=\sqrt3$. Площадь: $S=\dfrac12b^2\sin120^\circ=\dfrac12\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{4}$.

Ответ: $\dfrac{3\sqrt3}{4}$.

Пример 3. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AM$, прямая через $B$ перпендикулярно $AM$ пересекает $AC$ в точке $N$. $AB=6$, $BC=5$, $AC=9$. а) Докажите, что биссектриса угла $C$ делит $MN$ пополам. б) $P$ — точка пересечения биссектрис; найдите $AP:PN$.

Пусть $K=AM\cap BN$. Так как $AK\perp BN$ и $AK$ — биссектриса угла $A$, в $\triangle ABN$ отрезок $AK$ одновременно биссектриса и высота, значит $\triangle ABN$ равнобедренный: $AN=AB=6$, откуда $NC=9-6=3$. По свойству биссектрисы $\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}$, при $BC=5$ получаем $MC=3$. Итак $CM=CN=3$ — треугольник $CMN$ равнобедренный, а биссектриса угла $C$ является его осью симметрии, то есть перпендикулярной серединной прямой $MN$ и проходит через его середину — это доказывает а).

Точка $P$ лежит на биссектрисе угла $C$, значит $PM=PN$. Также $P$ на отрезке $AM$, и по формуле деления биссектрисы инцентром $\dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AB+AC}{BC}=\dfrac{15}{5}=3$. Так как $PN=PM$, получаем $\dfrac{AP}{PN}=3$, то есть $AP:PN=3:1$.

Ответ: $3:1$.

Типичные ошибки и ловушки

• Считать четырёхугольник вписанным или описанным без проверки условия (сумма противоположных углов $180^\circ$ или равенство сумм противоположных сторон).
• Путать теорему о касательной и хорде с обычным вписанным углом.
• Ошибаться в направлении отношения при делении стороны биссектрисой.
• Не обосновывать очевидные на чертеже факты — параллельность, равенство углов.
• Терять баллы за пункт б), не связав его с результатом пункта а).
• Не проверять существование конфигурации (неравенство треугольника, положительность длин).
• Путать внутреннюю и внешнюю биссектрисы, вписанную и вневписанную окружности.

Как готовиться

• Составить и выучить справочник формул по темам: окружности, вписанные и описанные фигуры, свойства треугольников и четырёхугольников.
• Решать задачи блоками по подтемам — от простых (окружность и треугольник) к комбинированным (окружность и четырёхугольник, системы окружностей).
• После каждой задачи разбирать альтернативные способы — синтетический и координатный.
• Тренироваться делать точный чертёж от руки — многие идеи решения видны именно на хорошем чертеже.
• Разбирать критерии оценивания реальных вариантов, обращая внимание, за что снимают баллы.
• Регулярно повторять доказательства ключевых теорем, чтобы уверенно на них ссылаться.