Задание 17 ЕГЭ: окружности и системы окружностей в планиметрии

О чём эта подтема

Задание 17 профильного ЕГЭ — планиметрическая задача из двух пунктов: в пункте (a) нужно доказать факт (параллельность, перпендикулярность, равенство периметра диаметру и т.п.), а в пункте (b) — вычислить числовую величину (площадь, радиус, длину отрезка). Подтема «окружности и системы окружностей» охватывает задачи, где действующие лица — две или три окружности, касающиеся друг друга (внешним или внутренним образом), касающиеся общей прямой или имеющие общую касательную.

Решение почти всегда строится вокруг двух базовых фактов: как связаны расстояние между центрами и радиусы при касании, и как ведёт себя общая касательная относительно радиусов и точек касания. Если эти факты отработаны, задача сводится к аккуратному чертежу и системе уравнений.

Что нужно знать

Расстояние между центрами.

• Если окружности радиусов $R$ и $r$ касаются внешним образом, $O_1O_2=R+r$.
• Если касаются внутренним образом (одна внутри другой), $O_1O_2=|R-r|$.
• Точка касания всегда лежит на прямой $O_1O_2$.

Касательная и радиус.

• Радиус, проведённый в точку касания окружности с прямой, перпендикулярен этой прямой.
• Отрезки касательных из одной внешней точки к окружности равны.

Длина общей касательной. Если $d$ — расстояние между центрами окружностей радиусов $R$ и $r$, то длина общей внешней касательной $$t_{ext}=\sqrt{d^2-(R-r)^2},$$ а длина общей внутренней касательной (существует, если окружности не пересекаются) $$t_{int}=\sqrt{d^2-(R+r)^2}.$$ Важный частный случай: если окружности касаются внешним образом ($d=R+r$), то $$t_{ext}=\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}=2\sqrt{Rr}.$$

Лемма о прямом угле. Если две окружности касаются в точке $K$ внешним образом, а прямая $\ell$ касается их в точках $A$ и $B$, то $\angle AKB=90^\circ$. Доказательство: касательная к обеим окружностям в точке $K$ пересекает $\ell$ в точке $M$; тогда $MA=MK$ и $MB=MK$ как отрезки касательных, значит $MA=MB=MK$, и $K$ лежит на окружности с диаметром $AB$.

Теорема о касательной и хорде. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны (в альтернативном сегменте).

Теорема Фалеса. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$, и обратно.

Гомотетия в точке касания. Две окружности, касающиеся в точке $K$, переводятся друг в друга гомотетией с центром $K$; эта гомотетия переводит касательную к одной окружности (не в точке $K$) в параллельную ей касательную ко второй — удобный приём для доказательств параллельности.

Как решать: метод и алгоритм

1. Сделать точный чертёж: отметить центры всех окружностей, точки касания друг с другом и с прямыми, подписать радиусы.
2. Записать расстояния между центрами через сумму или разность радиусов в зависимости от типа касания.
3. Если есть общая касательная прямая, использовать перпендикулярность радиуса к ней, равенство отрезков касательных; ввести вспомогательную точку пересечения касательных.
4. Для пункта (a) искать готовую лемму (прямой угол при общей касательной, касательная и хорда, гомотетия, Фалес) вместо вывода «с нуля»; доказательство должно быть общим, без опоры на числа из пункта (b).
5. Для пункта (b) перевести геометрию в алгебру: удобно вводить систему координат с осью на линии центров, выражать расстояния через координаты и радиусы, применять теорему Пифагора.
6. Решить полученную систему уравнений, при необходимости сделать замену переменных.
7. Проверить ответ на правдоподобность: положительность величин, соответствие условию (какая окружность больше, какая внутри какой).

Разбор примера

Пример 1. Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$. а) Докажите, что $AD\parallel BC$. б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если радиусы окружностей равны $1$ и $4$.

Шаг 1. Проведём касательную к обеим окружностям в точке $K$; она пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Тогда $MA=MK$ и $MB=MK$ (отрезки касательных из $M$), значит $MA=MB=MK$: точка $K$ лежит на окружности с диаметром $AB$, откуда $\angle AKB=90^\circ$.

Шаг 2. Точки $D,K,B$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle AKD$ равен $90^\circ$ (смежный или равный $\angle AKB$). Но $A,K,D$ лежат на первой окружности, значит по теореме Фалеса $AD$ — диаметр первой окружности. Аналогично, так как $A,K,C$ коллинеарны, $\angle BKC=90^\circ$, а $B,K,C$ лежат на второй окружности, поэтому $BC$ — её диаметр.

Шаг 3. $AD$ — диаметр первой окружности через точку касания $A$ прямой $AB$, значит $AD\perp AB$. Аналогично $BC\perp AB$. Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны: $AD\parallel BC$. Пункт (a) доказан.

Шаг 4 (пункт б). Пусть $r_1=1$, $r_2=4$. Длина общей внешней касательной: $$AB=2\sqrt{r_1r_2}=2\sqrt4=4.$$ Расстояние между центрами $O_1O_2=r_1+r_2=5$, точка $K$ делит его в отношении $O_1K:KO_2=r_1:r_2=1:4$. Расстояния от центров до прямой $AB$ равны радиусам ($1$ и $4$), а расстояние от $K$ до $AB$ меняется линейно вдоль отрезка $O_1O_2$: $$h=r_1+\frac{O_1K}{O_1O_2}(r_2-r_1)=1+\frac15\cdot3=\frac85=1{,}6.$$ Площадь: $$S=\frac12\cdot AB\cdot h=\frac12\cdot4\cdot1{,}6=3{,}2.$$

Общая формула, следующая из этих же шагов: $$S=\frac{2(r_1r_2)^{3/2}}{r_1+r_2},$$ при $r_1=1,r_2=4$ даёт $S=\frac{2\cdot8}{5}=3{,}2$.

Пример 2. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров. а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из них. б) Найдите радиус третьей окружности, если радиусы первых двух равны $4$ и $1$.

Шаг 1. Пусть первая окружность (радиус $R$) содержит вторую (радиус $r$), $R>r$, они касаются внутренним образом. Третья окружность (радиус $x$, центр $O_3$) касается первой изнутри, второй — внешним образом, и касается прямой $O_1O_2$.

Шаг 2. Стороны треугольника $O_1O_2O_3$: $O_1O_2=R-r$ (внутреннее касание), $O_1O_3=R-x$ (внутреннее касание), $O_2O_3=r+x$ (внешнее касание). Периметр: $$P=(R-r)+(R-x)+(r+x)=2R,$$ что равно диаметру наибольшей окружности. Доказательство общее, не зависит от конкретных чисел.

Шаг 3 (пункт б). Ось $Ox$ — линия центров, $O_1=(0,0)$, $O_2=(R-r,0)$. Третья окружность касается оси, значит $O_3=(x_3,x)$. Из внутреннего касания с первой окружностью: $$x_3^2+x^2=(R-x)^2 \Rightarrow x_3^2=R^2-2Rx.\quad(1)$$ Из внешнего касания со второй: $$(x_3-(R-r))^2+x^2=(r+x)^2.\quad(2)$$ Подставляя (1) в раскрытое (2) и упрощая, получаем $$x_3=R-\frac{R+r}{R-r}\,x.$$ Подставляя обратно в (1) и решая относительно $x$, получаем формулу $$x=\frac{4Rr(R-r)}{(R+r)^2}.$$ При $R=4$, $r=1$: $$x=\frac{4\cdot4\cdot1\cdot3}{25}=\frac{48}{25}.$$

Такие «зажатые» конфигурации почти всегда решаются через координаты и теорему Пифагора — держите эту схему как заготовку.

Типичные ошибки

• Путают формулу расстояния между центрами: сумма радиусов при внутреннем касании вместо разности, и наоборот.
• Не проверяют, какая окружность больше, и получают отрицательную разность радиусов там, где нужно менять порядок вычитания.
• В пункте (a) доказывают факт только для чисел из пункта (b), а не в общем виде — такое доказательство не засчитывается.
• Забывают о перпендикулярности радиуса и касательной и упускают готовые прямые углы.
• Не пользуются леммой $\angle AKB=90^\circ$ при общей касательной, пытаясь искать этот угол громоздкими вычислениями.
• Ошибаются в знаках при координатном методе — важно заранее определить взаимное расположение объектов относительно линии центров.
• Не проверяют численный ответ на смысл (радиус «зажатой» окружности должен быть меньше меньшего из данных радиусов).

На что обратить внимание на экзамене

• Начинайте с чёткого крупного чертежа и обозначайте все точки касания отдельными буквами.
• Проверяйте тип каждого касания (внешнее или внутреннее) прежде чем записывать расстояние между центрами.
• Для доказательной части ищите лемму, закрывающую задачу в одну-две строки (прямой угол при общей касательной, касательная и хорда, гомотетия, Фалес) — компактные общие доказательства ценятся выше.
• В вычислительной части не бойтесь вводить систему координат вдоль линии центров: почти все задачи сводятся к уравнениям через теорему Пифагора.
• Держите в памяти готовые формулы: $t=2\sqrt{Rr}$ для общей внешней касательной касающихся окружностей, $S=\dfrac{2(r_1r_2)^{3/2}}{r_1+r_2}$ для площади треугольника точки касания и точек касательной.
• После вычислений проверьте согласованность ответа с геометрией задачи: положительность, сравнение с другими радиусами.