Задание 17 ЕГЭ: разные задачи о многоугольниках — метод и разбор

О чём эта подтема

В задании 17 профильного ЕГЭ всегда встречается планиметрическая задача из двух пунктов: сначала нужно что-то доказать (пункт а), а затем — вычислить конкретную длину, угол или площадь, опираясь на доказанный факт (пункт б). Подтема «разные задачи о многоугольниках» объединяет задачи, где действующие лица — не просто треугольник или окружность сами по себе, а более сложная конфигурация: четырёхугольник (часто квадрат, параллелограмм, трапеция) или многоугольник большего числа сторон (пятиугольник и т. п.), вписанный в окружность или с отмеченными серединами сторон, точками пересечения диагоналей, перпендикулярами из вершин.

Отличительная черта таких задач — конфигурация не сводится к одной стандартной теореме, а требует комбинации нескольких фактов: свойств вписанных четырёхугольников, признаков подобия, обратной теоремы Фалеса (окружность с диаметром), иногда — координатного или векторного метода. Именно поэтому эта подтема называется «разные задачи»: единого шаблона решения нет, но есть общий набор приёмов, которые почти всегда работают.

Что нужно знать

1. Свойство вписанного четырёхугольника. Если четырёхугольник вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$: $$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$ Верно и обратное: если у четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$, вокруг него можно описать окружность.

2. Теорема о вписанном угле. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

3. Обратная теорема Фалеса. Если из двух точек $M$ и $N$, лежащих по одну сторону от отрезка $PQ$, этот отрезок виден под одинаковым углом, то $M,N,P,Q$ лежат на одной окружности. Частный случай: если $\angle PMQ=\angle PNQ=90^\circ$, то $M$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $PQ$.

4. Формула площади через радиус описанной окружности. $$S=\frac{abc}{4R}.$$ Отсюда высота на сторону $c$: $h_c=\dfrac{2S}{c}=\dfrac{ab}{2R}$. Это ключевая формула, если в задаче есть перпендикуляр из вершины многоугольника, вписанного в окружность, на хорду: длина перпендикуляра выражается через произведение двух других хорд, делённое на $2R$, а множитель $2R$ одинаков для всей окружности и сокращается в отношениях.

5. Признаки подобия треугольников (по двум углам; по пропорциональности сторон и равному углу между ними) — основной инструмент перехода от доказанного равенства углов к числовому соотношению между отрезками.

6. Метод координат и векторов — для квадратов, прямоугольников, задач с серединами сторон часто быстрее найти уравнения прямых и точку их пересечения, чем строить синтетическое доказательство.

7. Средняя линия и медианы треугольника — полезны, если в условии фигурируют середины сторон.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Точный чертёж. Отметьте все равные элементы, середины отрезков, все прямые углы, возникающие из условия («перпендикуляр», «квадрат», «диагонали прямоугольника»).

Шаг 2. Ищите скрытые окружности. Доказательство пункта а) почти всегда сводится к тому, что несколько точек лежат на одной окружности. Признаки: два прямых угла, опирающихся на общий отрезок (тогда он — диаметр), или равенство углов, из которых видна общая сторона.

Шаг 3. Переведите найденную окружность в нужное утверждение. Для равенства углов — теорема о вписанном угле; для вписанности четырёхугольника — признак напрямую.

Шаг 4. Свяжите пункт б) с пунктом а). Числовой ответ почти всегда получают, применяя доказанный факт: пропорция из подобных треугольников, произведение отрезков хорд, теорема Пифагора в найденной окружности.

Шаг 5. Если синтетика буксует — переходите к координатам. Поместите фигуру в удобную систему (оси вдоль сторон квадрата/прямоугольника), запишите координаты всех точек, найдите пересечение прямых и длину по формуле расстояния.

Шаг 6. Проверка. Оцените ответ по чертежу, проверьте размерность, подставьте частный случай, если возможно.

Разбор примера

Пример 1. Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Из вершины $A$ опущены перпендикуляры $AF, AH, AP, AQ$ на прямые $DE, BE, CD, BC$ соответственно. а) Докажите, что $\angle FAH=\angle PAQ$. б) Найдите $AH$, если $AF=a$, $AP=b$, $AQ=c$.

Ключевой приём — формула $h_c=\dfrac{ab}{2R}$ для высоты треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, применённая к четырём треугольникам с общей вершиной $A$, вписанным в ту же окружность, что и пятиугольник.

Треугольник $ADE$ вписан в ту же окружность, $AF$ — высота на $DE$: $$AF=\frac{AD\cdot AE}{2R}=a.$$ Точка $H$ — основание высоты из $A$ в треугольнике $ABE$: $$AH=\frac{AB\cdot AE}{2R}.$$ Точка $P$ — основание высоты из $A$ в треугольнике $ACD$: $$AP=\frac{AC\cdot AD}{2R}=b.$$ Точка $Q$ — основание высоты из $A$ в треугольнике $ABC$: $$AQ=\frac{AB\cdot AC}{2R}=c.$$

Пункт б) решается алгебраически: $$\frac{AF\cdot AQ}{AP}=\frac{\frac{AD\cdot AE}{2R}\cdot\frac{AB\cdot AC}{2R}}{\frac{AC\cdot AD}{2R}}=\frac{AB\cdot AE}{2R}=AH.$$ Значит, $AH=\dfrac{AF\cdot AQ}{AP}=\dfrac{ac}{b}$.

Доказательство пункта а) опирается на теорему о вписанном угле в окружности, описанной около пятиугольника. Угол между $AF$ и $AH$ получается поворотом угла между прямыми $DE$ и $BE$ на $90^\circ$ (так как $AF\perp DE$, $AH\perp BE$), значит равен углу $DEB$. Аналогично угол между $AP$ и $AQ$ равен углу $DCB$. Четырёхугольник $BCDE$ вписан в ту же окружность, поэтому углы $\angle DEB$ и $\angle DCB$, опирающиеся на хорду $DB$ из точек $E$ и $C$ одной дуги, равны как вписанные углы на одну дугу. Отсюда $\angle FAH=\angle PAQ$.

Пример 2. Точки $E$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. а) Докажите, что вокруг $ABOK$ можно описать окружность. б) Найдите $AO$, если сторона квадрата равна $1$.

В квадрате $\angle KAB=90^\circ$ (угол между $AB$ и $AD$, на которой лежит $K$). Докажем, что $\angle KOB=90^\circ$. Введём координаты: $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$. Тогда $E(0{,}5;1)$ — середина $CD$, $K(0;0{,}5)$ — середина $AD$.

Вектор $\vec{BE}=(-0{,}5;1)$, вектор $\vec{CK}=(-1;-0{,}5)$. Скалярное произведение: $(-0{,}5)(-1)+1\cdot(-0{,}5)=0$, значит $BE\perp CK$, то есть $\angle KOB=90^\circ$.

Из точек $A$ и $O$ отрезок $BK$ виден под прямым углом, значит по обратной теореме Фалеса $A$ и $O$ лежат на окружности с диаметром $BK$ — все четыре точки $A,B,O,K$ лежат на одной окружности.

Найдём $O$: прямая $BE$ — точки $(1-0{,}5t;\,t)$; прямая $CK$ — точки $(1-s;\,1-0{,}5s)$. Приравнивая: $s=0{,}5t$, $t=1-0{,}25t \Rightarrow t=0{,}8$. Тогда $O=(0{,}6;\,0{,}8)$. $$AO=\sqrt{0{,}6^2+0{,}8^2}=\sqrt{1}=1.$$ Ответ: $AO=1$.

Типичные ошибки

• Доказательство пункта а) «на глазок» — без явного признака (равенство или сумма углов, теорема Фалеса).
• Использование недоказанного факта — в пункте б) нельзя опираться на утверждение а), если оно не доказано.
• Путаница с диаметром вспомогательной окружности — стоит явно проговорить, какой отрезок служит диаметром и почему.
• Неудачный выбор системы координат — оси должны совпадать со сторонами квадрата или прямоугольника.
• Путаница между вписанным углом и его дополнением — важно следить, по одну или по разные стороны от хорды лежат точки.
• Потеря общего множителя $2R$ в задачах с окружностью — забыв о нём, легко застрять в громоздких вычислениях.

На что обратить внимание на экзамене

Пункт а) оценивается отдельно и должен быть доказан строго: ссылка «видно из рисунка» баллов не даёт. Если синтетика не идёт сразу, используйте координаты или векторы — это законный и часто более быстрый путь для квадратов, прямоугольников и конфигураций с серединами сторон.

Как только доказан факт из пункта а), сразу подумайте, как он превращается в числовое соотношение для пункта б) — обычно это пропорция из подобия или теорема Пифагора.

В решении называйте используемые теоремы явно («по теореме о вписанном угле», «по обратной теореме Фалеса», «по признаку подобия треугольников») — это и требование оформления, и способ проверить строгость своих рассуждений.

После получения ответа сверьте его правдоподобие с чертежом: длина отрезка не должна противоречить размерам фигуры, а формула вроде $AH=ac/b$ должна давать разумную величину при подстановке проверочных чисел.