Задание 17 ЕГЭ: окружности и четырёхугольники — метод решения

О чём эта подтема

В этой подтеме объединяются два объекта планиметрии: окружность (вписанная, описанная или просто касающаяся сторон фигуры) и четырёхугольник — чаще всего трапеция, иногда параллелограмм или произвольный четырёхугольник. Задача almost всегда состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно что-то доказать (подобие треугольников, равенство углов, соотношение между углами), а в пункте б) — что-то посчитать (площадь, длину отрезка, расстояние от точки до прямой).

Главная трудность не в сложных формулах, а в том, чтобы правильно "перенести" угловую информацию с окружности на четырёхугольник и обратно. Для этого используются свойства касательных, вписанных углов и параллельных прямых. После того как нужные равенства углов или отрезков установлены, численная часть решается стандартными средствами — теоремой синусов/косинусов, формулой площади через две стороны и угол между ними, свойствами прямоугольных треугольников.

Задания этой подтемы требуют аккуратного чертежа и чёткого пошагового обоснования: часть баллов снимается именно за недостаточную аргументацию в пункте а), даже если численный ответ в пункте б) верный.

Что нужно знать

Касательная к окружности.

• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, равны.
• Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны (теорема о угле между касательной и хордой). Это ключевой инструмент почти во всех задачах данной подтемы.

Вписанные и центральные углы.

• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle BOC = 2\angle BTC$, если $O$ — центр, а $T$ лежит на дуге, не содержащей $B$ и $C$ дугу, отличную от дуги, на которую опирается центральный угол.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Свойства трапеции.

• Основания параллельны, значит при пересечении боковой стороной (или любой секущей) образуются равные накрест лежащие и соответственные углы.
• В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и равна высоте — это часто удобно оформить в координатах или через прямоугольные треугольники.
• Если трапеция вписана в окружность, она обязательно равнобедренная.

Полезные формулы.

• Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: $S=\dfrac12 ab\sin\gamma$.
• Теорема синусов в окружности: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$, где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника со стороной $a$ и противолежащим углом $\alpha$.
• Площадь треугольника через хорды из одной точки окружности: $S=\dfrac12\,TB\cdot TC\cdot\sin(\angle BTC)$; сочетая с теоремой синусов $BC=2R\sin(\angle BTC)$, получаем удобную формулу для расстояния от точки $T$ окружности до хорды $BC$: $$d(T,BC)=\dfrac{TB\cdot TC}{2R}.$$
• Степень точки относительно окружности: для точки $A$ вне окружности и касательной из неё в точку $T$ выполняется $AT^2=AO^2-R^2$, а для секущей $AXY$ — $AX\cdot AY=AT^2$.

Как решать: метод и алгоритм

1. Сделайте аккуратный чертёж. Отметьте центр окружности, все точки касания, параллельные стороны четырёхугольника, данные углы и длины.
2. Пункт а) — работа с углами. Ищите цепочку равных углов: угол между касательной и хордой → вписанный угол → угол, образованный параллельными прямыми (накрест лежащий или соответственный). Как правило, двух–трёх таких переходов достаточно, чтобы получить равенство углов в двух треугольниках и обосновать подобие или доказать, что треугольник равнобедренный.
3. Зафиксируйте результат пункта а) как факт, которым можно пользоваться в пункте б) — обычно это равенство сторон (равнобедренность), подобие с известным коэффициентом или соотношение углов.
4. Пункт б) — переход к вычислениям. Введите переменную для неизвестной стороны или угла, выразите нужные величины через данные условия, используя теорему косинусов/синусов, формулу площади через угол, или прямоугольные треугольники (если в фигуре есть прямые углы — например, прямоугольная трапеция).
5. Если конфигурация с прямыми углами (прямоугольная трапеция, окружность касается боковой стороны), удобно ввести координаты: одну боковую сторону направить по оси, а основания — параллельно другой оси. Это превращает геометрическую задачу в алгебраическую и почти исключает ошибки в определении углов.
6. Проверьте ответ на разумность: длины и площади положительны, углы лежат в допустимых пределах, точка касания/пересечения действительно попадает внутрь нужного отрезка.

Разбор примера

Пример 1

Условие. Трапеция $KLMN$ с основаниями $KN$ и $LM$. Около треугольника $KLN$ описана окружность, прямые $LM$ и $MN$ — касательные к этой окружности. а) Докажите, что треугольники $LMN$ и $KLN$ подобны. б) Найдите площадь треугольника $KLN$, если $KN=3$, $\angle LMN=120^\circ$.

Решение.

Поскольку $LM\parallel KN$, а окружность проходит через $K,L,N$ и касается $LM$ в точке $L$, а $MN$ — в точке $N$, применим теорему об угле между касательной и хордой: $$\angle MLN=\angle LKN,\qquad \angle MNL=\angle LKN.$$ Следовательно, $\angle MLN=\angle MNL$ — треугольник $LMN$ равнобедренный с вершиной $M$.

Из параллельности $LM\parallel KN$ получаем накрест лежащие углы: $\angle MLN=\angle LNK$. Сопоставив с $\angle MLN=\angle LKN$, имеем $\angle LNK=\angle LKN$ — треугольник $KLN$ тоже равнобедренный, с вершиной $L$ ($LK=LN$).

Таким образом, угол при основании $LN$ у треугольника $LMN$ равен углу при основании $KN$ у треугольника $KLN$ — оба равны $\angle LKN$. По двум равным углам: $$\triangle LMN\sim\triangle KLN.$$

Численная часть. В $\triangle LMN$: $\angle LMN=120^\circ$, значит углы при основании равны $$\alpha=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$ По подобию углы при основании $KN$ в $\triangle KLN$ тоже равны $30^\circ$, тогда $\angle KLN=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

Пусть $LK=LN=b$. Из равнобедренного треугольника $KLN$: $KN=2b\cos30^\circ$, отсюда $$b=\frac{3}{2\cos30^\circ}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3.$$

Площадь: $$S=\frac12 b^2\sin120^\circ=\frac12\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}.$$

Ответ: $S_{KLN}=\dfrac{3\sqrt3}{4}$.

Пример 2

Условие. Окружность с центром $O$ внутри прямоугольной трапеции $ABCD$ проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны и касается боковой стороны $AD$ в точке $T$. а) Докажите, что $\angle BOC=2\angle BTC$. б) Найдите расстояние от $T$ до прямой $BC$, если основания $AB=4$, $CD=9$.

Решение.

а) Точки $B$, $C$, $T$ лежат на одной окружности с центром $O$. Угол $\angle BOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $BC$, а угол $\angle BTC$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу (вершина $T$ лежит на противоположной дуге, так как $T$ находится на боковой стороне $AD$, отделённой от $BC$ основаниями трапеции). По теореме о вписанном угле центральный угол вдвое больше вписанного: $$\angle BOC=2\angle BTC.$$

б) Так как трапеция прямоугольная, обозначим $A=(0,0)$, $D=(0,h)$, $B=(4,0)$, $C=(9,h)$ (сторона $AD$ — высота, перпендикулярная основаниям). Прямая $AD$ — это ось $Oy$, она касается окружности в точке $T=(0,t)$. Так как радиус в точку касания перпендикулярен касательной, центр $O$ имеет ту же ординату: $O=(r,t)$, где $r$ — радиус.

Из условий $OB=r$ и $OC=r$: $$(r-4)^2+t^2=r^2 \;\Rightarrow\; t^2=8r-16,$$ $$(r-9)^2+(t-h)^2=r^2 \;\Rightarrow\; (t-h)^2=18r-81.$$

Треугольник $ABT$ прямоугольный (угол при $A$ прямой, так как $AB\perp AD$), поэтому $$TB^2=AB^2+AT^2=16+t^2=16+(8r-16)=8r.$$ Треугольник $DCT$ прямоугольный (угол при $D$ прямой), поэтому $$TC^2=DC^2+DT^2=81+(t-h)^2=81+(18r-81)=18r.$$

Теперь используем формулу расстояния от точки окружности до хорды, полученную из площади треугольника двумя способами ($S=\tfrac12 TB\cdot TC\sin\angle BTC$ и $S=\tfrac12 BC\cdot d$, а $BC=2r\sin\angle BTC$ по теореме синусов): $$d(T,BC)=\frac{TB\cdot TC}{2r}=\frac{\sqrt{8r}\cdot\sqrt{18r}}{2r}=\frac{\sqrt{144r^2}}{2r}=\frac{12r}{2r}=6.$$

Величина не зависит от конкретных $r$ и $h$ — что и подтверждает корректность модели.

Ответ: расстояние от $T$ до $BC$ равно $6$.

Типичные ошибки

• Путаница в теореме об угле между касательной и хордой: важно правильно определить, с какой стороны хорды откладывается угол — угол между касательной и хордой равен вписанному углу именно в той дуге, что лежит по другую сторону от хорды.
• Использование признака вписанного четырёхугольника (сумма противоположных углов $180^\circ$) для фигуры, которая не вписана в окружность. В подтеме часто вписан только треугольник, а не весь четырёхугольник — не путайте.
• Игнорирование параллельности оснований трапеции. Именно она даёт равенство углов, без которого цепочка рассуждений в пункте а) не замыкается.
• Неверное определение вершины равнобедренного треугольника после того, как установлено равенство двух углов — важно понять, какая сторона является основанием, иначе формула площади или теорема косинусов применяется неверно.
• Ошибки при возведении в квадрат в координатном методе: при решении уравнений вида $(r-a)^2+t^2=r^2$ легко потерять знак или неправильно раскрыть скобки — проверяйте промежуточные выкладки.
• Отсутствие обоснования в пункте а) — просто написать "по свойству касательной" без указания конкретной теоремы и хорды, к которой она применяется, не даёт полного балла.
• Пропуск проверки конфигурации: не проверили, что точка касания действительно лежит на отрезке (а не на его продолжении), что угол острый/тупой и т.п.

На что обратить внимание на экзамене

• Чертёж стройте по всем данным условия, но окончательные выводы делайте только на основе доказанных фактов, а не "на глаз".
• В пункте а) записывайте каждый шаг с явной ссылкой на теорему (угол между касательной и хордой, вписанный угол, накрест лежащие углы при параллельных прямых) — это критично для получения полного балла за доказательство.
• Результат пункта а) почти всегда используется в пункте б); не решайте пункт б) "с нуля", если уже доказано подобие или равнобедренность — это резко упрощает вычисления.
• Если чертёж содержит прямые углы (прямоугольная трапеция, перпендикулярные стороны), не бойтесь перейти к координатам — это часто быстрее и надёжнее, чем чисто синтетические рассуждения.
• Держите в голове формулу $d=\dfrac{TB\cdot TC}{2R}$ для расстояния от точки окружности до хорды — она регулярно спасает в задачах с касательными и вписанными углами.
• Проверяйте итоговый ответ на правдоподобие: длины и площади положительны, углы соответствуют реальной фигуре (не превышают $180^\circ$, тупой угол трапеции даёт тупой угол в связанном треугольнике и т.д.).
• Не тратьте слишком много времени на подбор чисел — если после 2–3 переходов угол не находится, попробуйте другую пару касательная–хорда или другую параллель.