Задача 525026. Окружности и четырехугольники, разные задачи

Обозначения. В трапеции $KLMN$ основания $KN$ и $LM$, значит $LM\parallel KN$. Окружность проходит через $K,L,N$; прямая $LM$ касается её в точке $L$, прямая $MN$ — в точке $N$ (касание именно в этих точках, так как $L$ и $N$ лежат на окружности).

а) Доказательство подобия.

1. Угол между касательной $LM$ и хордой $LN$ равен вписанному углу, опирающемуся на $LN$ из другой дуги: $$\angle MLN=\angle LKN.$$

2. Аналогично для касательной $NM$ и той же хорды $NL$: $$\angle MNL=\angle LKN.$$ Значит $\angle MLN=\angle MNL$, т.е. треугольник $LMN$ — равнобедренный с вершиной $M$.

3. Так как $LM\parallel KN$, то $\angle MLN=\angle LNK$ (накрест лежащие). Вместе с п.1 получаем $\angle LNK=\angle LKN$, т.е. треугольник $KLN$ — равнобедренный с вершиной $L$ ($LK=LN$).

4. Итак, углы при основании $LN$ треугольника $LMN$ равны углам при основании $KN$ треугольника $KLN$ (все равны $\angle LKN$). По двум углам $$\triangle LMN\sim\triangle KLN\quad (L\leftrightarrow K,\ M\leftrightarrow L,\ N\leftrightarrow N).$$

б) Площадь $\triangle KLN$.

В треугольнике $LMN$: $\angle LMN=120^\circ$, углы при основании равны $$\alpha=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ .$$ Из подобия углы при основании $KN$ треугольника $KLN$ тоже равны $30^\circ$, а $\angle KLN=180^\circ-2\cdot30^\circ=120^\circ$.

Пусть $LK=LN=b$. Проекция на основание: $KN=2b\cos30^\circ$, откуда $$b=\frac{3}{2\cos30^\circ}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3 .$$

Площадь: $$S=\frac12 b^2\sin120^\circ=\frac12\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}\approx1{,}3.$$

Ответ: $S_{KLN}=\dfrac{3\sqrt3}{4}$.