Четырехугольники и их свойства: задание 17 ЕГЭ Математика (профиль)

Задачи (87)

• № 507262Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.а) Докаж
  с ответом
• № 505155На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпе
  с ответом
• № 505389Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга попола
  с ответом
• № 504418На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3. а) Докажите, что прямы
  с ответом
• № 504439Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части. а) До
  с ответом
• № 509516В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек В и С
  с ответом
• № 513922Прямая, проходящая через вершину В прямоугольника ABCD, перпендикулярна диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от ве
  с ответом
• № 514124Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основаниями AD и BC, из которых AD большее, на два подобных треугольника.а) Докажите, что ∠ABC = ∠ACD
  с ответом
• № 514375Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соотв
  с ответом
• № 514482В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.а) Докажите,
  с ответом
• № 514562Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне A
  с ответом
• № 516277Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.а) Докажите, чт
  с ответом
• № 517183Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от верш
  с ответом
• № 517448Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE перес
  с ответом
• № 517522Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.а) Доказать, что MA = MD.б) Расстояние
  с ответом
• № 517524Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.а) Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1.б) Найдите расстоя
  с ответом
• № 517526Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.б) Найдите площадь трапеции.
  с ответом
• № 517529Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, причем … и точка M внутри трапеции, такая, что … а) Докажите, что АM = DM.б) Найдите угол BAD, есл
  с ответом
• № 520824В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые. а) Докажите, что АВ = CD.б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.
  с ответом
• № 520997Точка Е — середина стороны BС квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O.а) Докажите, что … б) Найди
  с ответом
• № 521235Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13.а) Докажите, что углы РD
  с ответом
• № 521667Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD.
  с ответом
• № 521803Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD — в точке К. Прямая КО пересекает сторо
  с ответом
• № 525120Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки
  с ответом
• № 525141Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки
  с ответом
• № 548803На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.а) Докажите, что … б) На стороне CD отмечена т
  с ответом
• № 549674Точка Е — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересе
  с ответом
• № 553315На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что … и … Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD
  с ответом
• № 556617Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN
  с ответом
• № 558621В выпуклом четырехугольнике KLMN точки P и Q — середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ попо
  с ответом
• № 562252Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB = BM, MC = CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей н
  с ответом
• № 563635Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD
  с ответом
• № 563666Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM = СD, а на продолжении стороны C
  с ответом
• № 564706В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований AD и BC соответственно равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причем точка M располо
  с ответом
• № 564906На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпе
  с ответом
• № 620779Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O, BC и AD — основания трапеции.а) Докажите, что … б) Найдите площадь трапеции, если AD
  с ответом
• № 624026Точки L и N — середины оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, а точки K и M — середины диагоналей AC и BD соответственно. Известно,
  с ответом
• № 624492В четырехугольнике ELKA диагонали EK и AL перпендикулярны сторонам AK и EL соответственно. Прямые AK и EL пересекаются в точке M, а угол LMK
  с ответом
• № 626508В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы всех внутренних углов. Четырехугольник, образованный точками пересечения этих биссектрис, имеет
  с ответом
• № 628029Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD,
  с ответом
• № 629866Стороны BC и CD квадрата ABCD являются сторонами равносторонних треугольников BCM и DCN соответственно, точки M и N лежат вне квадрата. Прям
  с ответом
• № 630123В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за то
  с ответом
• № 630712В трапеции ABCD с основанием AD диагонали пересекаются в точке O, AD = 2BC. Через вершину A проведена прямая параллельная диагонали BD, а че
  с ответом
• № 632969На сторонах AB, BC и AD квадрата ABCD взяты соответственно точки M , K и N, такие, что … … и … а) Докажите, что площадь четырехугольника MKC
  с ответом
• № 633561В трапеции АВCD с основаниями BC и AD угол ABC прямой. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону AB в точке M, а сторону CD —
  с ответом
• № 633983Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки K и L так, что прямые KL и CD пар
  с ответом
• № 634877В квадрате ABCD точки P и Q — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CP и DQ пересекаются в точке F.а) Докажите, что … б) Найдите р
  с ответом
• № 637088B трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. На стороне AB отмечена то
  с ответом
• № 639337В трапеции ABCD c основанием AD диагонали пересекаются в точке O, а AD = 2BC. Через вершину A проведена прямая, параллельная диагонали BD, ч
  с ответом
• № 641101На сторонах AB, BC и AD соответственно квадрата ABCD взяты точки M, K и N, такие, что … … и … а) Докажите, что площадь четырехугольника MKCN
  с ответом
• № 641609Основания AB и CD прямоугольной трапеции ABCD равны соответственно 11 и 7, а меньшая боковая сторона BC равна 4. На стороне AD отмечена точк
  с ответом
• № 642339Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD — в точке N, причем AM : MC = 1 : 2,
  с ответом
• № 642419Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Точки M и N отмечены на боковых
  с ответом
• № 642759Биссектриса АМ острого угла А равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит с
  с ответом
• № 642782Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая,
  с ответом
• № 643680Стороны AB и AD квадрата ABCD касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. а) Докажите, что эта окружность разбивает д
  с ответом
• № 646485В параллелограмме ABCD точки E и O — середины сторон BC и АB соответственно, точка Q — середина отрезка OD, точка F — точка пересечения OC и
  с ответом
• № 651034Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точк
  с ответом
• № 655324Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых.а) Докажите, что четырехугольник с вершинами в серединах диагоналей и в серединах
  с ответом
• № 655788Точка E — середина основания AD трапеции ABCD, а точка M — середина стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке О. а) Докажите, что пло
  с ответом
• № 657470В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Сумма площадей треугольников AOB и COD равна сумме площадей треуг
  с ответом
• № 660401Точка F лежит на продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E и сторону CD в точке G
  с ответом
• № 661791На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки E и K соответственно. Известно, что AE = 3, EK = 2, … а) Докажите, что … б) Найдите площадь
  с ответом
• № 661829На сторонах квадрата BC и CD отмечены точки K и E соответственно. Известно, что AK = 3, KE = 2, … а) Докажите, что … б) Найдите площадь квад
  с ответом
• № 667894В трапеции ABCD известно, что … а) Докажите, что AB = CD.б) Найдите AD, если … …
  с ответом
• № 670048Биссектриса AM острого угла A равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD … пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит
  с ответом
• № 671352В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является бис
  с ответом
• № 672006Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Биссектрисы углов LKN и LMN пересекаются в точке О. Точки А и В отмечены на боковых
  с ответом
• № 672513В выпуклом четырехугольнике ABCD точки M, N, K, P — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно и являются вершинами четырехугольника MNK
  с ответом
• № 677078Вершины ромба расположены (по одной) на сторонах параллелограмма.а) Докажите, что центры ромба и параллелограмма совпадают.б) Найдите отноше
  с ответом
• № 678383В выпуклом четырехугольнике АВСD сторона AB = 5, … AD = 5.а) Докажите, что диагональ BD точкой пересечения диагоналей делится пополам.б) Най
  с ответом
• № 680462В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, F — середина ВЕ, K — середина FD, М — середина СK.а) Докажите, что точки Е, K и С лежа
  с ответом
• № 680577Точки K и M — середины сторон AB и BC соответственно параллелограмма ABCD. Отрезки AM и CK пересекаются в точке P.а) Докажите, что точка P п
  с ответом
• № 681250Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает его сторону AD в точке M. Диагонали AC и BD параллелограмма пересекаются в точке O. Окруж
  с ответом
• № 681757Дан ромб ABCD. На диагонали AC отмечены точки M и N, так что AM = NM = NC. Прямая BM пересекает сторону AD в точке P, а прямая BN пересекает
  с ответом
• № 682551Дан прямоугольник ABCD. Известно, что CD = 3AD. Точка M — середина его стороны AD. На стороне CD отмечена точка N. Известно, что CN = 2ND. Т
  с ответом
• № 683410Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N​, причём AM : MC = 1 : 2, BN
  с ответом
• № 685600В трапеции с основаниями ВС = 6 и AD = 8 на диагонали АС отмечена точка О такая, что СО : ОА = 2 : 3. Прямая ВО пересекает отрезок CD точке
  с ответом
• № 687524В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BCD — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая
  с ответом
• № 688751Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и
  с ответом
• № 689687В трапеции ABCD точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны, большее основание AD = 40, … а) Докаж
  с ответом
• № 691672В выпуклом четырёхугольнике KLMN диагонали KМ и LN перпендикулярны соответственно сторонам MN и KL, а длина стороны KN равна … На стороне KN
  с ответом
• № 692907В канун Нового года Дед Мороз решил проверить, не забыл ли он геометрию за годы раздачи подарков. Он нарисовал на льду озера параллелограмм
  с ответом
• № 694151В трапеции ABCD проведена биссектриса угла BAD, которая пересекает боковую сторону CD в точке M и делит эту сторону пополам.а) Докажите, что
  с ответом
• № 694565В выпуклом четырехугольнике ABCD точки P и Q — середины сторон AB и CD соответственно, точки E и F — середины AC и BD соответственно.а) Дока
  с ответом
• № 695739В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A на основании AD отмечена точка M, а на стороне CD точка N так, что AM = DN и … а) Докажите, ч
  с ответом
• № 696422Внутри квадрата ABCD отмечена точка О, а через нее проведены прямые, параллельные сторонам квадрата, пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA в
  с ответом