ЕГЭ профиль, задание 17: треугольники и их свойства — теория и разбор

О чём эта подтема

Задание 17 профильного ЕГЭ — это планиметрическая задача, состоящая из двух связанных пунктов: пункт а) требует доказать некоторое утверждение о фигуре, пункт б) — найти числовое значение, часто используя факт, доказанный в пункте а). Подтема «Треугольники и их свойства» — самая частая основа таких задач: она объединяет медианы, биссектрисы, высоты, точки их пересечения (центроид, инцентр, ортоцентр), равнобедренные и прямоугольные треугольники, теоремы Пифагора и косинусов, признаки подобия. Ключевая особенность заданий этого типа — доказательство почти всегда служит подсказкой к решению вычислительной части, поэтому важно не просто «сдать» доказательство, а понять, какую структуру оно раскрывает в чертеже.

Что нужно знать

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины: если $M$ — точка пересечения медиан, то $BM=\dfrac23 BB_1$, $MB_1=\dfrac13 BB_1$.
• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон: для биссектрисы $AM$ угла $A$ выполняется $\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}$.
• Все три биссектрисы пересекаются в одной точке — инцентре, равноудалённом от сторон (центр вписанной окружности).
• Если высота, медиана и биссектриса из одной вершины совпадают (хотя бы две из трёх), треугольник равнобедренный, а эта вершина — вершина, противоположная основанию.
• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2+b^2=c^2$.
• Теорема косинусов: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
• Формула длины медианы: $m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.
• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Расстояние от вершины до инцентра: $AI=\dfrac{r}{\sin(A/2)}=\dfrac{s-a}{\cos(A/2)}$, где $s$ — полупериметр, $a$ — сторона, противоположная вершине $A$.
• Признаки равенства и подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам, по стороне и двум углам.

Как решать: метод и алгоритм

1. Сделай аккуратный чертёж, отметь все данные величины и точки пересечения медиан, биссектрис, перпендикуляров.
2. Найди «скрытую» структуру: часто перпендикулярность биссектрисы (или медианы) к какой-то прямой создаёт равнобедренный треугольник, в котором высота совпадает с биссектрисой — это даёт равенство сторон и середину отрезка.
3. Сформулируй доказательство пункта а) как цепочку логических шагов: равенство углов → равнобедренность → нужное свойство (перпендикулярность, равенство отрезков, прямой угол).
4. Для пункта б) вырази искомую величину через уже установленные равенства, используя теорему Пифагора, теорему косинусов, формулу медианы или свойство биссектрисы.
5. Если нужна точка пересечения биссектрис (инцентр) или другая специальная точка, добавь вспомогательное построение и примени теорему косинусов в получившемся треугольнике.
6. Всегда используй результат пункта а) как готовый факт в пункте б) — без него вычисления обычно неразрешимы.
7. Подставляй числа только на последнем шаге, до этого работай с общими обозначениями — так меньше риск арифметической ошибки.

Разбор примера

Пример 1. Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $AC=3MB$. а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан $AA_1$ и $CC_1$, если $AC=10$.

Пункт а). Точка пересечения медиан делит каждую в отношении $2:1$ от вершины, поэтому $BM=\dfrac23 BB_1$, откуда $BB_1=\dfrac32 BM$. По условию $BM=\dfrac13 AC$, значит $$BB_1=\frac32\cdot\frac13 AC=\frac12 AC.$$ Но $B_1$ — середина $AC$, то есть $B_1A=B_1C=\dfrac12 AC$. Получаем $BB_1=B_1A=B_1C$ — треугольники $AB_1B$ и $CB_1B$ равнобедренные, значит $\angle B_1AB=\angle ABB_1$ и $\angle B_1CB=\angle CBB_1$.

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$. Так как $\angle A=\angle B_1AB$, $\angle C=\angle B_1CB$, а $\angle B=\angle ABB_1+\angle CBB_1$, получаем $$2(\angle ABB_1+\angle CBB_1)=180^\circ\ \Rightarrow\ \angle B=90^\circ.$$ Треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

Пункт б). Так как $\angle B=90^\circ$, в прямоугольных треугольниках $A_1BA$ и $C_1BC$ ($A_1$, $C_1$ — середины сторон) по теореме Пифагора: $$AA_1^2=A_1B^2+AB^2=\frac14BC^2+AB^2,\qquad CC_1^2=C_1B^2+BC^2=\frac14AB^2+BC^2.$$ Складывая, получаем $$AA_1^2+CC_1^2=\frac54\left(AB^2+BC^2\right).$$ По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $AB^2+BC^2=AC^2$, поэтому $$AA_1^2+CC_1^2=\frac54 AC^2=\frac54\cdot100=125.$$

Пример 2. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AM$. Прямая через $B$, перпендикулярная $AM$, пересекает $AC$ в точке $N$. $AB=6$, $BC=5$, $AC=9$. а) Докажите, что биссектриса угла $C$ делит отрезок $MN$ пополам. б) Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. Найдите $AP:PN$.

Пункт а). Прямая $AM$ — биссектриса угла $A$, значит $\angle BAM=\angle MAN$. Она же перпендикулярна $BN$. В треугольнике $ABN$ биссектриса угла $A$ совпадает с высотой из вершины $A$, а совпадение биссектрисы и высоты означает равнобедренность: $AB=AN$. Значит $AN=AB=6$, и точка пересечения $AM$ и $BN$ — середина $BN$.

Тогда $NC=AC-AN=9-6=3$. По свойству биссектрисы $AM$: $\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac23$, а так как $BC=5$, отсюда $BM=2$, $MC=3$.

Получили $MC=NC=3$ — треугольник $MNC$ равнобедренный с вершиной $C$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине совпадает с медианой к основанию, значит биссектриса угла $C$ пересекает $MN$ в его середине. Утверждение доказано.

Пункт б). Точка $P$ — инцентр треугольника $ABC$, лежит на биссектрисе $AM$. Расстояние от вершины до инцентра: $AP=\dfrac{s-a}{\cos(A/2)}$, где $s$ — полупериметр, $a=BC$.

Полупериметр $s=\dfrac{6+5+9}{2}=10$, тогда $s-a=10-5=5$.

По теореме косинусов: $$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{36+81-25}{108}=\frac{92}{108}=\frac{23}{27}.$$ Тогда $$\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{50/27}{2}}=\sqrt{\frac{25}{27}}=\frac{5}{3\sqrt3}.$$ Отсюда $AP=\dfrac{5}{5/(3\sqrt3)}=3\sqrt3$.

Угол между $AM$ и $AC$ равен $A/2$, так как $AM$ — биссектриса. По теореме косинусов в треугольнике $APN$ с $AN=6$: $$PN^2=AP^2+AN^2-2\cdot AP\cdot AN\cos\frac{A}{2}=27+36-2\cdot3\sqrt3\cdot6\cdot\frac{5}{3\sqrt3}=63-60=3.$$ Значит $PN=\sqrt3$, и $$\frac{AP}{PN}=\frac{3\sqrt3}{\sqrt3}=3.$$ Ответ: $AP:PN=3:1$.

Типичные ошибки

• Использование теоремы Пифагора без доказанной прямоугольности треугольника — прямой угол нужно строго обосновать, а не предполагать по чертежу.
• Путаница между медианой, биссектрисой и высотой — их свойства различны, подмена одного другим ломает всю цепочку доказательства.
• Забывают, что свойство «$2:1$» для медиан относится к точке пересечения всех трёх медиан, а не произвольной точке.
• Неверное применение свойства биссектрисы — отношение $\dfrac{BM}{MC}$ равно отношению прилежащих сторон, а не сторон, противоположных этим отрезкам.
• Использование результата пункта а) без ссылки на него в пункте б), что приводит к «повисшим» вычислениям без обоснования.
• Ошибки при работе с половинным углом: перепутаны формулы $\cos(A/2)$ и $\sin(A/2)$, не учтён знак под корнем.
• Отказ от вспомогательных построений там, где они реально упрощают доказательство.

На что обратить внимание на экзамене

Оформляй доказательство пункта а) как последовательность коротких, логически связанных утверждений — каждое опирается на конкретную теорему или признак, а не на «видно из рисунка». В пункте б) явно указывай, что используешь факт из пункта а) — это облегчает проверку и структурирует ход решения. Заранее проверяй, какие теоремы применимы: если треугольник не прямоугольный, теорема Пифагора не работает, нужна теорема косинусов. Держи под рукой формулы медианы, биссектрисы и расстояния от вершины до инцентра — они закрывают большинство вычислительных случаев. После получения числового ответа сверь его на правдоподобие: длины сторон и отрезков должны быть положительными и согласовываться с неравенством треугольника. Не бойся вводить вспомогательные точки и обозначения — чем яснее размечен чертёж, тем быстрее находится нужная цепочка равенств.