Задача 505537. Треугольники и их свойства

Обозначим точку пересечения медиан M. Известно, что медиана делится точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины, поэтому $BM=\dfrac{2}{3}BB_1$, откуда $BB_1=\dfrac{3}{2}BM$.

По условию $AC=3MB$, то есть $BM=\dfrac{1}{3}AC$. Подставляя, получаем $BB_1=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{2}AC$.

Но $B_1$ — середина $AC$, значит $B_1A=B_1C=\dfrac{1}{2}AC$. Таким образом $BB_1=B_1A=B_1C$, то есть треугольники $AB_1B$ и $CB_1B$ — равнобедренные. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle B_1AB=\angle ABB_1$ и $\angle B_1CB=\angle CBB_1$.

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$. Так как $\angle A=\angle B_1AB$, $\angle C=\angle B_1CB$, а $\angle B=\angle ABB_1+\angle CBB_1$, подставляя равенства углов, получаем $2(\angle ABB_1+\angle CBB_1)=180^\circ$, откуда $\angle B=\angle ABB_1+\angle CBB_1=90^\circ$. Значит, угол $B$ прямой, треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Теперь, так как $\angle ABC=90^\circ$, треугольник $A_1BA$ прямоугольный ($A_1$ — середина $BC$), и по теореме Пифагора $$AA_1^2=A_1B^2+AB^2=\frac14BC^2+AB^2.$$ Аналогично из треугольника $C_1BC$: $$CC_1^2=C_1B^2+BC^2=\frac14AB^2+BC^2.$$ Складывая: $$AA_1^2+CC_1^2=\frac54AB^2+\frac54BC^2=\frac54(AB^2+BC^2).$$ По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AB^2+BC^2=AC^2$, поэтому $$AA_1^2+CC_1^2=\frac54AC^2=\frac54\cdot100=125.$$