Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники и их свойства

Пусть $AM=2x,\ CM=3x$, тогда $AC=5x$. Так как $BM$ — высота, треугольник $ABM$ прямоугольный с прямым углом при $M$, поэтому $\cos\angle BAM=\dfrac{AM}{AB}$, откуда $AB=\dfrac{2x}{2/\sqrt5}=x\sqrt5$. По теореме Пифагора $BM^2=AB^2-AM^2=5x^2-4x^2=x^2$, то есть $BM=x$. Аналогично из прямоугольного треугольника $BMC$ ($\angle BMC=90^\circ$) находим $BC^2=BM^2+MC^2=x^2+9x^2=10x^2$, $BC=x\sqrt{10}$.

По теореме косинусов в $\triangle ABC$: $$\cos\angle ABC=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\,AB\cdot BC}=\frac{5x^2+10x^2-25x^2}{2\cdot x\sqrt5\cdot x\sqrt{10}}=\frac{-10x^2}{2x^2\sqrt{50}}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$ Значит $\angle ABC=135^\circ$ — угол тупой, что и требовалось доказать.

Так как $\angle ABC$ тупой, высота $CN$ падает не на отрезок $AB$, а на его продолжение за точку $B$; поэтому луч $BN$ противоположен лучу $BA$, и $\angle NBC=180^\circ-\angle ABC=45^\circ$. Тогда из прямоугольного треугольника $BNC$ ($\angle BNC=90^\circ$): $$BN=BC\cos45^\circ=x\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=x\sqrt5.$$

В прямоугольном треугольнике $ABM$ $\cos\angle ABM=\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{x}{x\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}$. Поскольку луч $BN$ противоположен лучу $BA$, угол между $BM$ и $BN$ равен $180^\circ-\angle ABM$, значит $$\cos\angle MBN=-\frac1{\sqrt5},\qquad \sin\angle MBN=\sqrt{1-\frac15}=\frac{2}{\sqrt5}.$$

Площадь треугольника через синус угла между сторонами: $$S_{BMN}=\frac12\,BM\cdot BN\cdot\sin\angle MBN=\frac12\cdot x\cdot x\sqrt5\cdot\frac{2}{\sqrt5}=x^2,$$ $$S_{ABC}=\frac12\,AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=\frac12\cdot x\sqrt5\cdot x\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac52x^2.$$

Отсюда $\dfrac{S_{BMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{x^2}{\tfrac52x^2}=\dfrac{2}{5}$.