Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Так как AB касается окружности в точке N, радиус ON перпендикулярен AB. Угол ACB прямой, а O лежит на CM (то есть на CA), значит угол OCB тоже прямой. Два прямых угла ONB и OCB опираются на отрезок OB, поэтому точки O, N, C, B лежат на одной окружности с диаметром OB.

В этой окружности вписанные углы, опирающиеся на одну дугу ON, равны: $\angle OBN=\angle OCN$.

По теореме об угле между касательной и хордой для исходной окружности (с диаметром CM): $\angle ANM=\angle NCM=\angle OCN$ (так как O лежит на CM).

Тогда $\angle ANM=\angle OBN$ — это равные углы, которые прямые MN и OB образуют с общей секущей AB, значит $MN\parallel BO$.

б) Пусть $MC=6x$, тогда радиус $OC=OM=ON=3x$, а $AM=2x$ (по условию $AM:MC=1:3$). Отсюда $OA=OM+MA=5x$.

В прямоугольном треугольнике $OAN$ ($ON\perp AB$): $AN=\sqrt{OA^2-ON^2}=\sqrt{25x^2-9x^2}=4x$.

Отрезки $BC$ и $BN$ — касательные к окружности из точки $B$, поэтому $BC=BN=y$. Тогда $AB=AN+NB=4x+y$, $AC=AM+MC=8x$. По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $(4x+y)^2=(8x)^2+y^2$, откуда $8xy=48x^2$, то есть $y=6x$.

Четырёхугольник $BCON$ состоит из двух прямоугольных треугольников $BCO$ и $BNO$ с общей гипотенузой $BO$, у которых $BC=BN=y$, $CO=NO=3x$. Его площадь можно посчитать двумя способами: $$S_{BCON}=2\cdot\frac12\cdot y\cdot 3x=3xy=18x^2,$$ $$S_{BCON}=\frac12\cdot CN\cdot BO,\quad BO=\sqrt{(3x)^2+(6x)^2}=3x\sqrt5.$$ Подставив $CN=8$: $18x^2=\frac12\cdot8\cdot3x\sqrt5=12x\sqrt5$, отсюда $x=\dfrac{2\sqrt5}{3}$, значит $x^2=\dfrac{20}{9}$.

Теперь находим площади: $$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot8x\cdot6x=24x^2=\frac{160}{3}.$$ Площадь $\triangle OBC=\frac12\cdot BC\cdot OC=\frac12\cdot6x\cdot3x=9x^2$, поэтому $$S_{AOB}=S_{ABC}-S_{OBC}=24x^2-9x^2=15x^2=\frac{100}{3}.$$ Треугольники $AMN$ и $AOB$ подобны (так как $MN\parallel OB$), коэффициент подобия $\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{2x}{5x}=\dfrac25$, значит $$S_{AMN}=\left(\frac25\right)^2 S_{AOB}=\frac{4}{25}\cdot\frac{100}{3}=\frac{16}{3}.$$ Искомая площадь: $$S_{BOMN}=S_{AOB}-S_{AMN}=\frac{100}{3}-\frac{16}{3}=28.$$