ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Вписанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17ОкружностиОкружности и треугольники

В прямоугольный треугольник АВС с катетами АС  =  4, ВС  =  3 вписана окружность с центром О, касающаяся сторон ВС, АС и АВ треугольника в точках R, Q, P соответственно.

а)  Докажите, что AO · BO · CO  =  10.

б)  Найдите площадь треугольника PQR.

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Использовать равенство отрезков касательных из одной вершины, чтобы найти радиус вписанной окружности и длины отрезков, а затем выразить искомые величины (произведение расстояний до центра и площадь треугольника касания) через прямоугольные треугольники и формулу площади через синус угла.

  1. Обозначим точки касания стандартно: CR=CQ=x, AQ=AP=AC-x=4-x, BP=BR=BC-x=3-x — это следует из равенства отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности.

  2. Гипотенуза: AB=32+42=5AB=\sqrt{3^2+4^2}=5. Так как AB=AP+PBAB=AP+PB, получаем уравнение (4−x)+(3−x)=5(4-x)+(3-x)=5, откуда x=1x=1. Значит CQ=CR=1CQ=CR=1, AQ=AP=3AQ=AP=3, BP=BR=2BP=BR=2.

  3. Поскольку углы при C прямые и OQ⟂AC, OR⟂BC, четырёхугольник ORCQ — квадрат со стороной r=x=1r=x=1 (это и есть радиус вписанной окружности).

  4. Найдём AO, BO, CO как гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами r=1r=1 и соответствующим отрезком касательной: AO=AQ2+r2=9+1=10AO=\sqrt{AQ^2+r^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}, BO=BP2+r2=4+1=5BO=\sqrt{BP^2+r^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt5, CO=CR2+r2=1+1=2CO=\sqrt{CR^2+r^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2. Тогда AO⋅BO⋅CO=10⋅5⋅2=100=10AO\cdot BO\cdot CO=\sqrt{10\cdot5\cdot2}=\sqrt{100}=10, что и требовалось доказать.

  5. Площадь PQR находим как площадь ABC минус три «угловых» треугольника, отрезанных касательными хордами: SPQR=SABC−SBPR−SAPQ−SRCQS_{PQR}=S_{ABC}-S_{BPR}-S_{APQ}-S_{RCQ}.

  6. SABC=3⋅42=6S_{ABC}=\dfrac{3\cdot4}{2}=6. Треугольник RCQ — прямоугольный равнобедренный с катетами 1: SRCQ=12⋅1⋅1=0,5S_{RCQ}=\dfrac12\cdot1\cdot1=0{,}5.

  7. Для треугольников BPR и APQ используем формулу площади через синус угла между известными сторонами: sin⁡B=ACAB=45\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45, sin⁡A=BCAB=35\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac35. SBPR=12⋅BP⋅BR⋅sin⁡B=12⋅2⋅2⋅45=1,6S_{BPR}=\dfrac12\cdot BP\cdot BR\cdot\sin B=\dfrac12\cdot2\cdot2\cdot\dfrac45=1{,}6. SAPQ=12⋅AP⋅AQ⋅sin⁡A=12⋅3⋅3⋅35=2,7S_{APQ}=\dfrac12\cdot AP\cdot AQ\cdot\sin A=\dfrac12\cdot3\cdot3\cdot\dfrac35=2{,}7.

  8. Итог: SPQR=6−1,6−2,7−0,5=1,2S_{PQR}=6-1{,}6-2{,}7-0{,}5=1{,}2.

Типичные ошибки

  • Неверно применяют свойство равенства отрезков касательных, путая, какие отрезки равны у какой вершины
  • Забывают, что четырёхугольник, образованный центром окружности и вершиной прямого угла, является квадратом, и не используют это для нахождения радиуса
  • При вычислении площади треугольника PQR ошибаются в выборе сторон и угла для формулы S=12absin⁡γS=\frac12ab\sin\gamma, либо путают синусы углов A и B
Непонятно?

Похожие задачи