Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть $E$ и $F$ — середины сторон $CB$ и $AB$, тогда $EF$ — средняя линия, $EF\parallel AC$, и в трапецию/четырёхугольник $AFEC$ вписана окружность. Для четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны: $AC+EF=AF+CE$. Так как $EF=\frac{AC}{2}$, $AF=\frac{AB}{2}$, $CE=\frac{BC}{2}$, получаем $AC=\dfrac{AB+BC}{3}$.

По теореме косинусов для угла $B$: $AC^2=AB^2+BC^2-2\,AB\cdot BC\cdot0{,}8$.

Подставив $AC=\dfrac{AB+BC}{3}$ и раскрыв, получаем уравнение $8AB^2-16{,}4\,AB\cdot BC+8BC^2=0$. Решая его как квадратное относительно $AB$, находим $AB=\dfrac54 BC$ или $AB=\dfrac45 BC$. В обоих случаях, найдя соответствующее $AC$, получаем отношение сторон $3:4:5$ — это признак прямоугольного треугольника (по теореме, обратной теореме Пифагора, $3^2+4^2=5^2$). Значит, треугольник ABC прямоугольный.

б) Пусть стороны равны $3x,4x,5x$. Площадь прямоугольного треугольника: $S=\dfrac12\cdot3x\cdot4x=6x^2$. С другой стороны, $S=r\cdot p=1\cdot\dfrac{3x+4x+5x}{2}=6x$. Приравнивая, $6x^2=6x\Rightarrow x=1$. Тогда $S=6\cdot1^2=6$.