Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть окружность касается сторон $AC$ и $BC$ в точках $N$ и $K$. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности, они равны: $CN=CK$, $BK=BP$, $AN=AP$.

Так как $M$ — середина $AB$, то $AM=BM$. Тогда $$AC-BC=AN-BK=AP-BP=(AM+MP)-(BM-MP)=2MP,$$ откуда $MP=\dfrac{AC-BC}{2}$ (если $BC>AC$, рассуждение аналогично, и в общем случае берётся модуль).

б) Условие $AM=MC$ означает, что медиана из $C$ равна половине $AB$ — это признак прямоугольного треугольника, значит $\angle C=90^\circ$.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, $N,K$ — точки касания сторон $CA,CB$. Так как углы при $C,N,K$ прямые, а $CN=CK=r$, четырёхугольник $CNOK$ — квадрат.

Обозначим $BK=x$, тогда $BC=x+r$, $BP=BK=x$. Из пункта а) при $AC>BC$: $MP=\dfrac{AC-BC}{2}=\dfrac r2$, значит $AC-BC=r$, то есть $AC=BC+r=x+2r$. Тогда $AN=AP=AC-CN=x+r$, а $AB=AP+PB=2x+r$.

Применим теорему Пифагора: $$(x+2r)^2+(x+r)^2=(2x+r)^2.$$ Раскрывая и приводя подобные, получаем $2x^2-2xr-4r^2=0$, то есть $(x-2r)(x+r)=0$, откуда $x=2r$.

Тогда $BC=3r,\ AC=4r,\ AB=5r$ — стороны в отношении $3:4:5$.

Поскольку $\angle C=90^\circ$, а $AB$ — гипотенуза: $$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}.$$ Отсюда $\angle A=\arccos\dfrac45$, $\angle B=\arccos\dfrac35$, $\angle C=90^\circ$.