Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

Пусть окружность касается сторон $AB,BC,AC$ в точках $R,P,S$, а медиану $BM$ пересекает в точках $N$ (ближе к $B$) и $O$ (ближе к $M$). По условию $BN=NO=OM=x$, то есть $BM=3x$.

По теореме о касательной и секущей (степень точки относительно окружности) для точек $B$ и $M$: $BR^2=BN\cdot BO=x\cdot2x=2x^2$, $MS^2=MO\cdot MN=2x^2$. Значит $BR=BP=MS=\sqrt2\,x$.

Пусть $PC=y$. Тангенсы из $C$ равны: $SC=PC=y$. Тогда $BC=BP+PC=\sqrt2x+y$, $MC=MS+SC=\sqrt2x+y$, а так как $M$ — середина $AC$, $AC=2MC=2\sqrt2x+2y$. Отсюда $AS=AC-SC=2\sqrt2x+y$, и $AB=BR+RA=3\sqrt2x+y$.

Подставляем в формулу медианы $BM^2=\dfrac{2BC^2+2AB^2-AC^2}{4}$, где $BM=3x$. После упрощения получаем $x=2\sqrt2\,y$.

Тогда $BC=5y,\;AC=10y,\;AB=13y$, то есть $BC:CA:AB=5:10:13$ — пункт а) доказан.

б) При $BM=12$ имеем $3x=12\Rightarrow x=4$, значит $y=\dfrac{x}{2\sqrt2}=\sqrt2$. Стороны: $BC=5\sqrt2,\;AC=10\sqrt2,\;AB=13\sqrt2$, полупериметр $p=14\sqrt2$.

По формуле Герона $S=\sqrt{14\sqrt2\cdot9\sqrt2\cdot4\sqrt2\cdot\sqrt2}=12\sqrt{14}$.

Радиус вписанной окружности $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12\sqrt{14}}{14\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt7}{7}$.