Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

Обозначим $CN=x$, тогда по условию $NB=2x$ и $BC=3x$.

Пусть окружность $\omega_1$ касается $AC$ в точке $K$, $AB$ в точке $L$. По свойству отрезков касательных из одной точки: $CK=CN=x$, $BL=BN=2x$, а $AK=AL=y$ — неизвестный отрезок.

Тогда $AC=y+x$, $AB=y+2x$, а полупериметр $p=\dfrac{AB+BC+AC}{2}=y+3x$.

Вычислим $p-AB=x$ и $p-AC=2x$. Заметим, что вневписанная окружность, касающаяся стороны $BC$, касается её в точке, отстоящей от $B$ на $p-AC$ и от $C$ на $p-AB$. У нас получилось $BM=x$ и $CM=2x$ — это в точности отношение $BM:MC=1:2$ из условия, значит точка $M$ — это точка касания именно вневписанной (по отношению к вершине $A$) окружности со стороной $BC$. Так как в угол при вершине $C$, образованный стороной $BC$ и продолжением $AC$, можно вписать только одну окружность, касающуюся $BC$ в точке $M$, то $\omega_2$ совпадает с этой вневписанной окружностью. А вневписанная окружность по определению касается прямой, содержащей третью сторону — то есть $AB$. Это доказывает пункт а).

Для пункта б): раз $BC\perp AC$, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при $C$. По теореме Пифагора: $$AB^2=BC^2+AC^2 \;\Rightarrow\; (y+2x)^2=(3x)^2+(y+x)^2.$$ Раскрываем скобки: $$y^2+4xy+4x^2=9x^2+y^2+2xy+x^2,$$ $$4xy+4x^2=2xy+10x^2,$$ $$2xy=6x^2 \;\Rightarrow\; y=3x.$$

Тогда $AC=y+x=4x$, $AB=y+2x=5x$, $BC=3x$ — получаем прямоугольный треугольник со сторонами $3x,4x,5x$.

Угол $BAC$ прилежит к катету $AC$ и лежит против гипотенузы $AB$, поэтому $$\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}.$$

Следовательно, $\angle BAC=\arccos\dfrac{4}{5}$.