Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть $\angle ACB=\alpha$. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, из которого она видна, поэтому $MO$ и $NO$ — биссектрисы внешних углов треугольника $MCN$ при вершинах $M$ и $N$ (касательная $MN$ и стороны $CM$, $CN$ образуют этот треугольник, окружность вписана в него как вневписанная относительно угла $C$). Сумма углов даёт $\angle MON=90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}$.

Так как $CO$ — биссектриса угла $ACP$ (а $AP$ — биссектриса угла $A$, при этом $CK$ и $CM$ — касательные из $C$, значит $CO$ делит угол $ACB$ пополам), то $\angle OCK=\dfrac{\alpha}{2}$, и в прямоугольном треугольнике $OCK$ $\angle COK=90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}=\angle MON$.

Тогда $\angle MOC=\angle MON-\angle CON=\angle COK-\angle CON=\angle NOK$, что и требовалось.

б) Луч $MO$ — биссектриса угла $AMN$ (по свойству касательных), а $AO$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle AOM=\angle NMO=\angle AMO$, значит треугольник $AOM$ равнобедренный: $AM=AO$. Аналогично $PN=OP$.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности, $p$ — полупериметр треугольника $ABC$. Точка $O$ лежит на $AP$, а высота трапеции $AMNP$ равна $r$ (расстояние от касательной до точки касания на параллельной стороне). Тогда $$S_{AMNP}=\frac{AP+MN}{2}\cdot r=\frac{(AO+OP)+MN}{2}\cdot r=\frac{(AM+PN)+MN}{2}\cdot r=\frac{6+2}{2}r=4r.$$

Площадь всего треугольника: $S_{ABC}=pr$.

Из условия $\dfrac{S_{AMNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{4r}{pr}=\dfrac{4}{p}=\dfrac{2}{7}$, откуда $p=14$.

Периметр треугольника $ABC$ равен $2p=28$.