Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, значит $KA=KB$, то есть треугольник $ABK$ равнобедренный. Пусть $\angle BAK=\alpha$ — это половина угла $A$, так как $AK$ — биссектриса. Из равнобедренности следует $\angle KBA=\alpha$ тоже. В треугольниках $ACK$ и $BCA$ угол $C$ общий, а $\angle KAC=\alpha+\angle KAB\cdot0$... точнее, угол $\angle KAC=\angle BAC-\alpha=\alpha$ (так как $AK$ делит угол $A$ пополам), и он равен $\angle ABC=\alpha$ (доказано выше). По двум углам треугольники $ACK\sim BCA$. Из подобия $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CK}{CA}$, откуда $AC^2=BC\cdot CK$.

б) Угол $\angle CKA$ — внешний угол равнобедренного треугольника $ABK$, поэтому $\angle CKA=2\alpha$. По формуле синуса двойного угла $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}96$.

По теореме синусов в треугольнике $ACK$: $\dfrac{KC}{\sin\alpha}=\dfrac{AC}{\sin2\alpha}$, то есть $\dfrac{KC}{0{,}6}=\dfrac{24}{0{,}96}$, отсюда $KC=15$.

По теореме проекций: $AK=KC\cos2\alpha+AC\cos\alpha=15\cdot0{,}28+24\cdot0{,}8=\dfrac{117}{5}$ (используем $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=0{,}28$, $\cos\alpha=0{,}8$).

Высота из $C$ на $AK$: $h=KC\sin2\alpha=15\cdot0{,}96=14{,}4=\dfrac{72}{5}$.

Площадь: $S=\dfrac12\cdot AK\cdot h=\dfrac12\cdot\dfrac{117}{5}\cdot\dfrac{72}{5}=\dfrac{117\cdot36}{25}$.

Полупериметр: $p=\dfrac{15+24+117/5}{2}=\dfrac{4\cdot39}{5}$ (после приведения к общему знаменателю).

Радиус вписанной окружности $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{117\cdot36/25}{4\cdot39/5}=\dfrac{27}{5}$.