Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

Пусть $H$ — основание высоты, $M$ — середина $AB$ (по условию медиана попадает в $M$). Угол $ACB$ разбит лучами $CH$ и $CM$ на три равные части, значит $CH$ — биссектриса угла $ACM$, а $CM$ — биссектриса угла $HCB$.

1. Так как в треугольнике $ACM$ отрезок $CH$ одновременно высота и биссектриса из вершины $C$, треугольник $ACM$ равнобедренный: $CA=CM$, и $H$ — середина $AM$. Обозначим $AH=HM=x$, тогда $AM=2x$, и так как $M$ — середина $AB$, $MB=AM=2x$.

2. Для треугольника $CHB$ биссектриса $CM$ угла $HCB$ делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: $\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{HM}{MB}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac12$, откуда $CB=2CH=2y$, где $CH=y$.

3. В прямоугольном треугольнике $CHB$: $CH^2+HB^2=CB^2$, а $HB=HM+MB=3x$. Подставляя, $y^2+9x^2=4y^2\Rightarrow y=\sqrt3\,x$.

4. Теперь находим стороны: $AC^2=AH^2+CH^2=x^2+3x^2=4x^2\Rightarrow AC=2x$; $CB=2\sqrt3x$; $AB=AH+HM+MB=4x$. Проверяем: $AC^2+CB^2=4x^2+12x^2=16x^2=AB^2$ — по обратной теореме Пифагора угол $ACB=90^\circ$. Это доказывает пункт а).

5. Площадь: $S=\dfrac12\cdot AC\cdot CB=\dfrac12\cdot2x\cdot2\sqrt3x=2\sqrt3x^2$. По условию $S=1{,}5+\sqrt3=\dfrac{3+2\sqrt3}{2}$, значит $x^2=\dfrac{3+2\sqrt3}{4\sqrt3}$.

6. Полупериметр $p=\dfrac{AC+CB+AB}{2}=\dfrac{2x+2\sqrt3x+4x}{2}=x(3+\sqrt3)$.

7. Радиус вписанной окружности находим по формуле $S=pr\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{2\sqrt3x^2}{x(3+\sqrt3)}=\dfrac{2\sqrt3x}{3+\sqrt3}$.

Подставим $x^2$ и упростим $r^2$: $r^2=\dfrac{4\cdot3x^2}{(3+\sqrt3)^2}=\dfrac{12\cdot\frac{3+2\sqrt3}{4\sqrt3}}{(3+\sqrt3)^2}=\dfrac{3(3+2\sqrt3)}{\sqrt3(3+\sqrt3)^2}$. Замечая, что $\sqrt3(3+\sqrt3)^2=\sqrt3(12+6\sqrt3)=12\sqrt3+18=6(2\sqrt3+3)$, получаем $r^2=\dfrac{3(3+2\sqrt3)}{6(3+2\sqrt3)}=\dfrac12$.

Следовательно, $r=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.