Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть $\angle A=\alpha,\ \angle B=\beta$, $\alpha+\beta=90^\circ$. Треугольник $ACH$ прямоугольный ($\angle AHC=90^\circ$) и имеет общий угол $A$ с треугольником $ABC$, поэтому $\angle ACH=90^\circ-\alpha=\beta$.

Высота $CH$ делит прямой угол $C$ на $\angle ACH=\beta$ и $\angle BCH=\alpha$. Биссектриса $CE$ делит $\angle ACH$ пополам, значит $\angle ECH=\dfrac{\beta}{2}$, и $$\angle BCE=\angle BCH+\angle ECH=\alpha+\dfrac{\beta}{2}=90^\circ-\dfrac{\beta}{2}.$$ В треугольнике $BCE$ угол при $E$: $\angle BEC=180^\circ-\beta-\angle BCE=90^\circ-\dfrac{\beta}{2}$.

Получаем $\angle BCE=\angle BEC$, значит стороны, лежащие против этих углов, равны: $BC=BE$. Треугольник $BCE$ равнобедренный, ч.т.д.

б) Так как $BC=BE$, биссектриса угла $B$ является осью симметрии треугольника $BCE$ (перпендикулярной биссектрисой $CE$). Центр вписанной окружности $O$ лежит именно на этой биссектрисе, поэтому $O$ равноудалён от $C$ и $E$: $EO=CO$.

Найдём $CO$. Опустив из $O$ перпендикуляры на катеты $AC$ и $BC$, получаем квадрат со стороной $r$ (радиус вписанной окружности), а $CO$ — его диагональ: $CO=r\sqrt{2}$.

Ищем $r$: $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{64+36}=10$, площадь $S=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=24$, полупериметр $p=\dfrac{6+8+10}{2}=12$. По формуле $S=pr$ получаем $r=\dfrac{24}{12}=2$.

Тогда $EO=CO=r\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.