Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Отрезок EF касается вписанной окружности, а также, поскольку E и F — середины AB и BC, к этой же окружности касаются и стороны AB, BC (это стороны исходного треугольника), а также AC. Значит четырёхугольник AEFC — описанный вокруг данной окружности (все его стороны касаются одной и той же окружности). Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: $AE+FC=AC+EF$.

Так как E, F — середины сторон, EF — средняя линия треугольника, поэтому $EF=\frac12 AC$, то есть $AC=2EF$.

Запишем периметр: $P_{ABC}=AC+AB+BC$. Поскольку $AB=2AE$ и $BC=2FC$, получаем $AB+BC=2(AE+FC)$. Подставляя равенство описанного четырёхугольника: $$P_{ABC}=AC+2(AE+FC)=AC+2(AC+EF)=AC+2AC+2EF=3AC+AC=4AC,$$ так как $2EF=AC$. Отсюда $AC=\frac14P_{ABC}=\frac{24}{4}=6$.

б) Из $AC=6$ и периметра 24 получаем $AB+BC=18$. Угол при C прямой, значит по теореме Пифагора $AB^2=BC^2+AC^2=BC^2+36$.

Выразим $AB=18-BC$ и подставим: $$(18-BC)^2=BC^2+36$$ $$324-36BC+BC^2=BC^2+36$$ $$36BC=288\Rightarrow BC=8.$$

Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: $$S=\frac12\cdot BC\cdot AC=\frac12\cdot 8\cdot 6=24.$$