Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

Шаг 1. Так как ON и OM — радиусы, проведённые в точки касания, то $ON\perp AC$, значит $\angle ONC=90^\circ$. В окружности, описанной около $\triangle ONC$, угол $ONC$ опирается на отрезок $OC$, значит $OC$ — диаметр этой окружности.

Шаг 2. Обозначим $K$ — точку пересечения прямой $BO$ с прямой $MN$. Хотим показать, что $\angle BKC=90^\circ$ — тогда $K$ лежит на окружности с диаметром $OC$, а значит совпадает со второй точкой пересечения прямой $BO$ с этой окружностью, то есть с точкой $P$.

Шаг 3. Пусть $\angle B=2\beta$, $\angle A=2\alpha$. Так как $AM=AN$ (отрезки касательных из $A$), треугольник $AMN$ равнобедренный, поэтому $\angle AMN=90^\circ-\alpha$.

Шаг 4. В треугольнике $BMK$ угол при вершине $K$: $\angle BKM=\angle AMN-\angle MBK=90^\circ-\alpha-\beta$ (используем, что $\angle MBK=\beta$, так как $BO$ — биссектриса угла $B$).

Шаг 5. Из суммы углов треугольника $\angle ACB=180^\circ-2\alpha-2\beta$, а так как $CO$ — биссектриса угла $C$, то $\angle OCN=\dfrac{\angle ACB}{2}=90^\circ-\alpha-\beta$.

Шаг 6. Получили $\angle OKN=180^\circ-\angle BKM=90^\circ+\alpha+\beta$, а $\angle OKN+\angle OCN=180^\circ$, значит четырёхугольник $OKNC$ вписанный, и тогда $\angle OKC=90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр $OC$). Следовательно, $K$ лежит на окружности с диаметром $OC$ и лежит на прямой $BO$, значит $K=P$, то есть точка $P$ лежит на прямой $MN$. Доказано.

Шаг 7. Из доказанного $\angle OPC=90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр $OC$), поэтому $BP\perp PC$.

Шаг 8. Продлим $CP$ до пересечения с $AB$ в точке $L$. В треугольнике $LBC$ отрезок $BP$ лежит на биссектрисе угла $B$ (так как $P\in BO$) и одновременно перпендикулярен $LC$, то есть является высотой. Биссектриса, совпадающая с высотой, означает, что треугольник $LBC$ равнобедренный ($BL=BC$), а точка $P$ — середина отрезка $LC$.

Шаг 9. Пусть $h_1$ — расстояние от $C$ до прямой $AB$, а $h_2$ — расстояние от $P$ до прямой $AB$. Так как $P$ — середина $LC$, а $L$ лежит на $AB$, то $h_2=\dfrac{h_1}{2}$.

Шаг 10. Тогда $$S_{ABP}=\frac12 \cdot AB\cdot h_2=\frac12\cdot AB\cdot\frac{h_1}{2}=\frac14 AB\cdot h_1=\frac12\left(\frac12 AB\cdot h_1\right)=\frac12 S_{ABC}=\frac12\cdot24=12.$$