Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть $I$ — центр вписанной окружности. Так как $AI$ и $CI$ — биссектрисы углов $A$ и $C$, то $\angle IAC=\angle IAM$ и $\angle ICA=\angle ICN$. Поскольку $MN\parallel AC$, при пересечении секущей $AI$ образуются накрест лежащие углы: $\angle MIA=\angle IAC=\angle IAM$, значит треугольник $MIA$ равнобедренный, $MI=MA$. Аналогично $\angle NIC=\angle ICA=\angle ICN$, откуда $NI=NC$. Тогда периметр треугольника $MBN$: $$P_{MBN}=MB+BN+MN=MB+BN+MI+IN=MB+MA+NB+NC=AB+BC.$$

б) Так как $MN\parallel AC$, треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны, поэтому $$\frac{MB}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}.$$ Подставим $MB=AB-MI$, $BN=BC-IN$, $MN=MI+IN$, обозначив $MI=x$, $IN=y$: $$\frac{11-x}{11}=\frac{13-y}{13}=\frac{x+y}{12}.$$ Из первого равенства: $143-13x=143-11y\Rightarrow 13x=11y\Rightarrow x=\dfrac{11}{13}y.$ Подставляя во второе равенство: $$\frac{11-\frac{11}{13}y}{11}=\frac{\frac{11}{13}y+y}{12}.$$ Приводя к общему знаменателю и упрощая, получаем $36y=156$, то есть $y=\dfrac{13}{3}$. Тогда $x=\dfrac{11}{13}\cdot\dfrac{13}{3}=\dfrac{11}{3}$. Итого $MN=x+y=\dfrac{11}{3}+\dfrac{13}{3}=\dfrac{24}{3}=8.$