Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Так как $E$ и $F$ — середины $AB$ и $BC$, отрезок $EF$ — средняя линия треугольника, поэтому он параллелен $AC$ и $EF=\dfrac{AC}{2}$, а также $AB=2AE$, $BC=2FC$.

По условию вписанная окружность треугольника $ABC$ касается ещё и отрезка $EF$, то есть эта же окружность является вписанной в четырёхугольник $AEFC$ (касается всех его сторон $AE, EF, FC, CA$). Для окружности, вписанной в четырёхугольник, суммы противоположных сторон равны: $$AE+FC=EF+AC.$$

Периметр треугольника: $$P=AB+BC+AC=2AE+2FC+AC=2(AE+FC)+AC.$$ Подставим равенство сумм: $$P=2(EF+AC)+AC=2\left(\frac{AC}{2}+AC\right)+AC=4AC.$$ Отсюда $AC=\dfrac{P}{4}=\dfrac{36}{4}=9$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $BC=x$. Тогда из периметра $AB=36-9-x=27-x$.

Треугольник прямоугольный с прямым углом при $C$, поэтому по теореме Пифагора гипотенуза $AB$ связана с катетами $AC=9$ и $BC=x$: $$9^2+x^2=(27-x)^2.$$ Раскрываем правую часть: $$81+x^2=729-54x+x^2.$$ Сокращаем $x^2$ и переносим слагаемые: $$54x=729-81=648,$$ $$x=12.$$

Таким образом $BC=12$, а площадь прямоугольного треугольника (катеты $AC$ и $BC$) равна половине произведения катетов: $$S=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot9\cdot12=54.$$