ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Вписанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17ОкружностиОкружности и треугольники

В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором AB  =  10, AC  =  BC  =  13, вписана окружность единичного радиуса, точки О1, О2 и О3 центры этих окружностей. Найдите:

а)  радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

б)  площадь треугольника О1, О2, О3.

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Центры малых окружностей лежат на биссектрисах углов ABC, поэтому треугольник их центров подобен исходному треугольнику; коэффициент подобия находится через разницу высот, после чего площадь находится по формуле отношения площадей подобных фигур.
  1. Так как AC=BC, высота CH, опущенная на основание AB, является одновременно медианой и биссектрисой угла C. Тогда AH=HB=5, а по теореме Пифагора CH=AC2−AH2=132−52=12CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12.
  2. Площадь треугольника ABC: SABC=12⋅AB⋅CH=12⋅10⋅12=60S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CH=\frac12\cdot10\cdot12=60.
  3. Полупериметр p=10+13+132=18p=\frac{10+13+13}{2}=18. Так как площадь любого треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр, r=SABCp=6018=103r=\dfrac{S_{ABC}}{p}=\dfrac{60}{18}=\dfrac{10}{3} — это ответ пункта а).
  4. Для пункта б) заметим, что каждая из трёх окружностей радиуса 1 вписана в свой угол треугольника, поэтому её центр лежит на биссектрисе этого угла. Из‑за симметрии биссектриса угла C совпадает с высотой CH, поэтому O2O_2 лежит на CH.
  5. Прямые O1O3O_1O_3 и ABAB обе горизонтальны (перпендикулярны CH) и находятся на одинаковом расстоянии 1 от сторон, поэтому O1O3∥ABO_1O_3\parallel AB, а расстояние от O1O3O_1O_3 до AB равно 1 (это следует из того, что O1H1O3H3O_1H_1O_3H_3 — прямоугольник, где H1,H3H_1,H_3 — точки касания окружностей со стороной AB).
  6. В прямоугольном треугольнике CO2H2CO_2H_2 (где H2H_2 — точка касания окружности O2O_2 со стороной AC) O2H2=1O_2H_2=1, а угол O2CH2O_2CH_2 равен половине угла C, то есть равен углу ACH. Так как sin⁡(∠ACH)=AHAC=513\sin(\angle ACH)=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{5}{13}, получаем CO2=O2H2sin⁡(∠ACH)=15/13=135CO_2=\dfrac{O_2H_2}{\sin(\angle ACH)}=\dfrac{1}{5/13}=\dfrac{13}{5}.
  7. Высота треугольника O1O2O3O_1O_2O_3, проведённая из O2O_2 к O1O3O_1O_3, равна O2X=CH−CO2−1=12−135−1=425O_2X=CH-CO_2-1=12-\dfrac{13}{5}-1=\dfrac{42}{5} (вычитаем расстояние от C до O2O_2 и расстояние от O1O3O_1O_3 до AB).
  8. Стороны треугольника O1O2O3O_1O_2O_3 параллельны сторонам ABC (по построению через биссектрисы и одинаковые смещения), значит треугольники подобны, а коэффициент подобия равен отношению соответствующих высот: k=CHO2X=1242/5=107k=\dfrac{CH}{O_2X}=\dfrac{12}{42/5}=\dfrac{10}{7}.
  9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: k2=SABCSO1O2O3k^2=\dfrac{S_{ABC}}{S_{O_1O_2O_3}}, то есть 10049=60SO1O2O3\dfrac{100}{49}=\dfrac{60}{S_{O_1O_2O_3}}, откуда SO1O2O3=60⋅49100=29,4S_{O_1O_2O_3}=60\cdot\dfrac{49}{100}=29{,}4.

Типичные ошибки

  • Неправильно определяют положение точки X и забывают вычесть смещение 1 при нахождении высоты O2X.
  • Путают угол ACH с полным углом C, а не с его половиной, при вычислении CO2.
  • Забывают, что треугольники подобны именно из-за параллельности сторон, и пытаются искать стороны треугольника O1O2O3 напрямую, что усложняет решение.
Непонятно?

Похожие задачи