Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

Пусть вписанная окружность касается BC в точке K, и пусть $BK=x$. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной вершины к окружности, они равны, поэтому $AB=AM+BK=8+x$ (касательные из A равны 8, из B равны x), а $CB=CM+BK=12+x$. Стороны треугольника: $AC=AM+CM=20$, $AB=8+x$, $BC=12+x$.

Полупериметр $p=\dfrac{AC+AB+BC}{2}=\dfrac{20+(8+x)+(12+x)}{2}=20+x$.

Площадь через радиус вписанной окружности: $S=pR=4(20+x)$.

Площадь по формуле Герона: $S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{(20+x)\cdot 12\cdot 8\cdot x}=4\sqrt{6x(20+x)}$ (здесь $p-AB=12$, $p-BC=8$, $p-AC=x$).

Приравнивая два выражения для S: $4(20+x)=4\sqrt{6x(20+x)}$. Возводим в квадрат и сокращаем на $(20+x)$: $(20+x)=6x$, откуда $x=4$.

Тогда стороны равны: $AC=20$, $AB=12$, $BC=16$. Проверяем: $12^2+16^2=144+256=400=20^2$ — выполняется теорема Пифагора, значит угол при вершине B (противоположной AC) прямой, треугольник прямоугольный.

б) Центр описанной окружности O прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы AC, поэтому $AO=OC=\dfrac{AC}{2}=10$.

Центр вписанной окружности I находится на расстоянии R=4 от стороны AC (перпендикулярно к ней в точке касания M), то есть $IM=4$ и $IM\perp AC$.

Найдём расстояние OM вдоль стороны AC: $OM=AO-AM=10-8=2$.

Треугольник OMI прямоугольный (так как $IM\perp AC$, а O лежит на AC), поэтому по теореме Пифагора: $$IO=\sqrt{OM^2+MI^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5.$$