Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Так как BB₁ и CC₁ — высоты, углы $\angle AC_1H=\angle AB_1H=90^\circ$. Значит, точки $A,C_1,H,B_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AH$ (прямой угол опирается на диаметр). В этой окружности вписанные углы $\angle HB_1C_1$ и $\angle HAC_1$ опираются на одну и ту же дугу $HC_1$, поэтому они равны. Поскольку точки $B,H,B_1$ лежат на одной прямой (высота $BB_1$ проходит через $H$), $\angle BB_1C_1=\angle HB_1C_1$. А так как $C_1\in AB$, $\angle HAC_1=\angle BAH$. Отсюда $\angle BB_1C_1=\angle BAH$, что и требовалось.

б) В прямоугольном треугольнике $ABB_1$: $AB_1=AB\cos\angle BAB_1=AB\cos60^\circ=\dfrac12 AB$. Аналогично в треугольнике $ACC_1$: $AC_1=\dfrac12 AC$. Значит $\dfrac{AB}{AB_1}=\dfrac{AC}{AC_1}=2$, а угол $A$ общий — треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны с коэффициентом 2. Отсюда $BC=2\cdot B_1C_1=18$.

Центр описанной окружности $O$: точка $M$ — середина $BC$, тогда искомое расстояние — $OM$. Центральный угол $\angle BOC=2\angle BAC=120^\circ$, поэтому в равнобедренном треугольнике $BOC$ $\angle MOC=60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $OMC$: $OM=MC\cdot\cot60^\circ=\dfrac{BC}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=9\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=3\sqrt3$.