Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Так как $BD+CE=BC$, на стороне $BC$ найдётся точка $F$ с $BF=BD,\;CF=CE$. Тогда $\triangle DBI=\triangle FBI$ (BI — биссектриса угла B, две пары равных сторон и равный угол между ними), значит $ID=IF$ и $\angle DIB=\angle FIB$. Аналогично $\triangle ECI=\triangle FCI$, откуда $IE=IF$ и $\angle EIC=\angle FIC$. Следовательно $ID=IE=IF$. Складывая углы вокруг точки $I$ и используя, что $\angle IBF+\angle ICF=180^\circ-\angle BAC$ (сумма углов треугольника), получаем $\angle DIE=180^\circ-\angle BAC$. А угол $\angle DAE=\angle BAC$, значит сумма противоположных углов четырёхугольника $ADIE$ равна $180^\circ$ — он вписан.

б) Точка $D'$ — отражение $D$ относительно $AI$; так как $I$ лежит на оси симметрии, $ID'=ID$. Из вписанности $ADIE$ и того, что $AI$ делит угол $A$ пополам, следует $ID=IE$. Таким образом $ID=IE=ID'$, то есть $I$ — центр окружности, описанной около $\triangle EDD'$, а искомый радиус $R=IE$.

Треугольник $ID'E$ равнобедренный ($ID'=IE$), поэтому высота $IH$ из $I$ делит основание $D'E$ пополам: $HE=\dfrac{D'E}{2}=1$. Эта высота равна радиусу вписанной окружности треугольника $ABC$: $IH=r=\dfrac92$. По теореме Пифагора в треугольнике $IHE$: $$IE^2=IH^2+HE^2=\left(\frac92\right)^2+1^2=\frac{85}{4}.$$ Отсюда $R=IE=\dfrac{\sqrt{85}}{2}$.