Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

Пункт а). Точки $K,M,L,N$ лежат на одной прямой (это хорда), причём в порядке $K,M,L,N$. Тогда $\angle CML$ — внешний угол треугольника $CMN$ при вершине $M$, значит $\angle CML=\angle MNC+\angle MCN$. Так как луч $NM$ совпадает с лучом $NK$ (M между K и N), $\angle MNC=\angle KNC$ — вписанный угол на дугу $KC$. Так как луч $CM$ совпадает с лучом $CA$, $\angle MCN=\angle ACN$ — вписанный угол на дугу $AN$. Значит $\angle CML=\frac12(\text{дуга }KC)+\frac12(\text{дуга }AN)$. С другой стороны $\angle ABC=\frac12(\text{дуга }AN+\text{дуга }NC)$. По условию $\angle CML=\angle ABC$, откуда дуга $KC$ = дуга $NC$. Равные дуги дают равные вписанные углы $\angle NKC=\angle KNC$, значит стороны против них равны: $CK=CN$ — треугольник $KNC$ равнобедренный.

Пункт б). Треугольники $ABC$ и $MLC$ подобны (угол $C$ общий, $\angle ABC=\angle CML$), коэффициент подобия $k=\dfrac{AB}{LM}=3$, поэтому $S_{MLC}=\dfrac{S_{ABC}}{k^2}=\dfrac{S_{ABC}}{9}$.

Площадь четырёхугольника: $S_{ABLM}=S_{ABC}-S_{MLC}=\frac89S_{ABC}=2\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac94$.

Высота $ABC$ к $AB$: $h=\dfrac{2S_{ABC}}{AB}=\dfrac{2\cdot\frac94}{3}=\dfrac32$. По подобию высота треугольника $MLC$ к $LM$ (обозначим $CH$) в $k=3$ раза меньше: $CH=\dfrac{1}{2}$.

По теореме синусов радиус описанной окружности: $R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{3}{2\cdot\frac35}=\dfrac52$.

Поскольку треугольник $KNC$ равнобедренный ($CK=CN$), высота из $C$ к $KN$ проходит через середину $H$ хорды $KN$ и лежит на серединном перпендикуляре к ней, то есть на прямой, проходящей через центр $O$. Значит $C,H,O$ коллинеарны, и $OH=OC-CH=R-CH=\dfrac52-\dfrac12=2$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OKH$: $KH=NH=\sqrt{R^2-OH^2}=\sqrt{\left(\dfrac52\right)^2-2^2}=\sqrt{\dfrac94}=\dfrac32$, значит $KN=3$.

Площадь: $S_{KNC}=\dfrac12\cdot KN\cdot CH=\dfrac12\cdot3\cdot\dfrac12=\dfrac34$.