ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Вписанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Тригонометрия в геометрииУглы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC. Касательная к окружности пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно.

а)  Докажите, что сумма углов AOD и BOE равна 180°.

б)  Найдите DE, если AC  =  BC, радиус окружности равен 3, тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle BAC правая круглая скобка = дробь: числитель: 5 корень из 3 , знаменатель: 11 конец дроби , а разность углов AOD и BOE равна 60°.

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Использовать свойство биссектрис (внутренних для углов A,B и внешних для точек касания D,E) и равенство касательных отрезков, а затем через угол между OA/OB и радиусом найти DM, EN по формулам тангенса суммы и разности.

а) Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов треугольника, поэтому AOAO и BOBO — биссектрисы углов AA и BB треугольника ABCABC, а так как окружность касается DEDE, то DODO и EOEO — биссектрисы внешних углов треугольника DECDEC при вершинах DD и EE. Из прямоугольных «половинных» треугольников получаем ∠AOD=180∘−12∠ADE−12∠A\angle AOD=180^\circ-\tfrac12\angle ADE-\tfrac12\angle A, ∠BOE=180∘−12∠BED−12∠B\angle BOE=180^\circ-\tfrac12\angle BED-\tfrac12\angle B. Так как A,D,CA,D,C и B,E,CB,E,C лежат на прямых, ∠ADE+∠BED=180∘+∠C\angle ADE+\angle BED=180^\circ+\angle C, а ∠A+∠B=180∘−∠C\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C. Сложив, получаем ∠AOD+∠BOE=360∘−12⋅360∘=180∘\angle AOD+\angle BOE=360^\circ-\tfrac12\cdot360^\circ=180^\circ.

б) Из ∠AOD+∠BOE=180∘\angle AOD+\angle BOE=180^\circ и ∠AOD−∠BOE=60∘\angle AOD-\angle BOE=60^\circ находим ∠AOD=120∘\angle AOD=120^\circ, ∠BOE=60∘\angle BOE=60^\circ.

Пусть M,NM,N — точки касания окружности с AC,BCAC,BC. Так как AC=BCAC=BC, углы при основании равны: ∠OAM=∠OBN=α=12∠BAC\angle OAM=\angle OBN=\alpha=\tfrac12\angle BAC, откуда tan⁡α=5311\tan\alpha=\dfrac{5\sqrt3}{11} (дано). В прямоугольных треугольниках OAM,OBNOAM,OBN: ∠AOM=∠BON=90∘−α\angle AOM=\angle BON=90^\circ-\alpha.

Тогда ∠DOM=∠AOD−∠AOM=30∘+α\angle DOM=\angle AOD-\angle AOM=30^\circ+\alpha, ∠EON=∠BOE−∠BON=α−30∘\angle EON=\angle BOE-\angle BON=\alpha-30^\circ.

В прямоугольных треугольниках DOMDOM и EONEON катет OM=ON=r=3OM=ON=r=3, поэтому DM=3tan⁡(30∘+α)DM=3\tan(30^\circ+\alpha), EN=3tan⁡(α−30∘)EN=3\tan(\alpha-30^\circ).

По формуле тангенса суммы/разности: DM=3⋅tan⁡30∘+tan⁡α1−tan⁡30∘tan⁡α=1333,EN=3⋅tan⁡α−tan⁡30∘1+tan⁡αtan⁡30∘=34.DM=3\cdot\frac{\tan30^\circ+\tan\alpha}{1-\tan30^\circ\tan\alpha}=\frac{13\sqrt3}{3},\qquad EN=3\cdot\frac{\tan\alpha-\tan30^\circ}{1+\tan\alpha\tan30^\circ}=\frac{\sqrt3}{4}.

По свойству отрезков касательных DE=DM+EN=1333+34=55312DE=DM+EN=\dfrac{13\sqrt3}{3}+\dfrac{\sqrt3}{4}=\dfrac{55\sqrt3}{12}.

Типичные ошибки

  • Не учитывать, что DO и EO — биссектрисы именно внешних углов треугольника DEC, а не внутренних.
  • Ошибочно считать угол между AO и стороной AC равным половине угла AOD, а не углу α = половине угла A.
  • Перепутать формулы тангенса суммы и разности при вычислении DM и EN.
Непонятно?

Похожие задачи