Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) По свойству касательных, равных от одной точки: $BE=BK$, $CE=CM$, $AM=AK$. Так как $\angle MCE=\angle C=90^\circ$ и $\angle MHE=90^\circ$ (по построению $EH\perp MK$), сумма противоположных углов $\angle MCE+\angle MHE=180^\circ$, значит $MHEC$ — вписанный четырёхугольник. Тогда вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $EH$, равны: $\angle EMH=\angle ECH$. С другой стороны, угол между касательной $BE$ и хордой $EK$ равен вписанному углу $\angle EMK$ в другой сегмент: $\angle BEK=\angle EMK=\angle EMH$. Отсюда $\angle BEK=\angle ECH$ — это соответственные углы при пересечении прямых $EK$ и $CH$ секущей $BC$, значит $EK\parallel CH$.

б) $AB=\sqrt{15^2+8^2}=17$, $\cos B=\dfrac{8}{17}$, $\cos A=\dfrac{15}{17}$.

Обозначим $BE=x,\;CE=y,\;AM=z$: $x+y=8,\;y+z=15,\;x+z=17\Rightarrow x=5,y=3,z=12$.

В равнобедренном $\triangle BEK$ ($BE=BK=5$) пусть $\angle BEK=\alpha$, тогда $\angle B=180^\circ-2\alpha$, откуда $\cos\alpha=\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$, и по теореме косинусов $EK=2\cdot5\cos\alpha=\dfrac{15\sqrt{34}}{17}$.

В $\triangle ECM$ ($CE=CM=3$, угол $C=90^\circ$) $EM=3\sqrt2$ — диаметр окружности, описанной около $CEHM$ (углы при $C$ и $H$ прямые). Отсюда $\angle CEH=\angle KMA$, и по теореме синусов $CH=EM\sin\angle KMA=3\sqrt2\sin\theta$.

В равнобедренном $\triangle AKM$ ($AM=AK=12$) $\angle A=180^\circ-2\theta$, значит $\sin\theta=\dfrac{4\sqrt{17}}{17}$, и $CH=3\sqrt2\cdot\dfrac{4\sqrt{17}}{17}=\dfrac{12\sqrt{34}}{17}$.

Тогда $\dfrac{CH}{EK}=\dfrac{12\sqrt{34}/17}{15\sqrt{34}/17}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$.