Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть биссектриса делит угол $B$ на два равных угла величины $\alpha$. Площади треугольников $ABK$ и $CBK$ можно выразить через стороны и угол между ними: $$S_{ABK}=\frac12\cdot AB\cdot BK\cdot\sin\alpha,\qquad S_{CBK}=\frac12\cdot BC\cdot BK\cdot\sin\alpha.$$ Отсюда $\dfrac{S_{ABK}}{S_{CBK}}=\dfrac{AB}{BC}$.

С другой стороны, опустив из $B$ высоту $BH$ на прямую $AC$, эти же площади можно записать как $S_{ABK}=\frac12 AK\cdot BH$, $S_{CBK}=\frac12 CK\cdot BH$ (треугольники имеют общую высоту). Значит $\dfrac{S_{ABK}}{S_{CBK}}=\dfrac{AK}{CK}$.

Сравнивая два выражения для одного отношения площадей, получаем $\dfrac{AK}{CK}=\dfrac{AB}{BC}$, то есть $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{CK}{BC}$, что и требовалось.

б) Пусть $\angle ABK=\angle KBC=\alpha$. По теореме косинусов в треугольниках $ABK$ и $CBK$: $$AK^2=AB^2+BK^2-2\,AB\cdot BK\cos\alpha,\qquad CK^2=BC^2+BK^2-2\,BC\cdot BK\cos\alpha.$$ Из пункта а) $\dfrac{CK^2}{AK^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}$, так как $\dfrac{CK}{AK}=\dfrac{BC}{AB}$. Подставив выражения для $CK^2$ и $AK^2$ и приравняв, после упрощения получаем $$\cos\alpha=\frac{(AB+BC)\,BK}{2\,AB\cdot BC}.$$ Подставляя $AB=13$, $BC=7$, $BK=\dfrac{7\sqrt{13}}{4}$: $$\cos\alpha=\frac{(13+7)\cdot\frac{7\sqrt{13}}4}{2\cdot13\cdot7}=\frac{5}{2\sqrt{13}}.$$ Тогда $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{3\sqrt3}{2\sqrt{13}}$.

По формуле синуса двойного угла: $$\sin\angle ABC=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{5}{2\sqrt{13}}\cdot\frac{3\sqrt3}{2\sqrt{13}}=\frac{15\sqrt3}{26}.$$

Площадь треугольника $ABC$ находим через две стороны и угол между ними: $$S_{ABC}=\frac12\,AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=\frac12\cdot13\cdot7\cdot\frac{15\sqrt3}{26}=\frac{105\sqrt3}{4}.$$