Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Треугольники $ABC$ и $DHA$ равны по условию, значит $AC=AD$, то есть треугольник $ACD$ равнобедренный, откуда $\angle ACD=\angle ADC$.

Точка $O_1$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, значит $CO_1$ и $AO_1$ — биссектрисы его углов. Тогда $\angle O_1CA=\tfrac12\angle BCA$, а так как в прямоугольном треугольнике $\angle BCA=90^\circ-\angle BAC$, а $\angle BAC=180^\circ-2\angle ACD$ (равнобедренность), получаем $\angle O_1CD=\angle O_1CA+\angle ACD=90^\circ$, то есть $O_1C\perp CD$.

Луч $AO_2$ — биссектриса равнобедренного треугольника $ACD$, поэтому он же высота и медиана: $CN=ND$, где $N$ — основание высоты. По свойству внешнего угла $\angle DO_2N=\tfrac12(\angle HAD+\angle HDA)=45^\circ$, значит треугольник $DNO_2$ — прямоугольный равнобедренный, $O_2N=DN$. Из треугольника $ADN$: $AN=DN\cdot\tan\angle ADN=2DN$, откуда $O_2N=AO_2$.

Углы $AO_1C$ и $AO_2C$ опираются на одну хорду $AC$, поэтому равны, а значит равны и треугольники $AO_1C$, $CO_2A$: $AO_1=CO_2,\ CO_1=AO_2$. Тогда $O_1C=O_2N$, и четырёхугольник $O_1O_2NC$ — прямоугольник (равные и параллельные противоположные стороны, прямой угол при $C$). Следовательно $O_1O_2\parallel CN\parallel CD$.

б) Пусть $CP$ — высота треугольника $ACD$, тогда $CP=AB=4$. Из прямоугольного треугольника $CPD$: $PD\cdot\tan\angle ADC=CP\Rightarrow 2PD=4\Rightarrow PD=2$.

Тогда $CD=\sqrt{CP^2+PD^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt5$.

Поскольку $N$ — середина $CD$, $DN=CN=\sqrt5=O_1O_2$, а $O_2N=DN=\sqrt5$ (доказано выше).

Четырёхугольник $O_1O_2DC$ — трапеция с основаниями $O_1O_2=\sqrt5$ и $CD=2\sqrt5$, высотой $O_2N=\sqrt5$: $$S=\frac12(O_1O_2+CD)\cdot O_2N=\frac12(\sqrt5+2\sqrt5)\cdot\sqrt5=\frac{3\cdot5}{2}=7{,}5.$$