Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Параллельность BI и DJ

I — центр окружности, описанной около $ABD$, значит $IA=IB=ID=R_1$. J — центр окружности, описанной около $CBD$, значит $JB=JD=JC=R_2$.

По теореме синусов в этих треугольниках: $$R_1=\frac{AB}{2\sin\angle ADB},\qquad R_2=\frac{BC}{2\sin\angle BDC}.$$ Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $AB=BC$. Углы $ADB$ и $BDC$ смежные (составляют $180^\circ$), значит $\sin\angle ADB=\sin\angle BDC$. Отсюда $R_1=R_2=R$.

Тогда $IB=ID=JB=JD=R$ — все стороны четырёхугольника $IBJD$ равны, значит это ромб. В ромбе противоположные стороны параллельны, следовательно $BI\parallel DJ$, что и требовалось.

б) Нахождение IJ

В ромбе $IBJD$ диагонали $IJ$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.

Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $DC$. Так как $I$ — центр окружности через $A$ и $D$, перпендикуляр из центра к хорде проходит через её середину, поэтому $IM\perp AD$. Аналогично $JN\perp DC$. Поскольку $AD$ и $DC$ лежат на одной прямой $AC$, обе прямые $IM$ и $JN$ перпендикулярны $AC$, значит $IM\parallel JN$.

Из этого следует, что угол между $IJ$ и $IM$ равен углу между $BD$ и стороной, смежной с $ADB$ (по свойству углов с параллельными сторонами): $$\angle MIJ = 180^\circ-\angle ADB=\angle BDC.$$

Отрезок $MN$ — это половина $AC$, так как $M$ и $N$ — середины отрезков $AD$ и $DC$, лежащих на прямой $AC$: $$MN=\frac12AD+\frac12DC=\frac12AC=\frac12\cdot12=6.$$

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $IJ$ и противолежащим углом $\angle MIJ=\angle BDC$ катет $MN$ связан с $IJ$ через синус: $$IJ=\frac{MN}{\sin\angle MIJ}=\frac{6}{\sin\angle BDC}.$$

Найдём $\sin\angle BDC$ из $\cos\angle BDC=\frac37$: $$\sin\angle BDC=\sqrt{1-\left(\frac37\right)^2}=\sqrt{\frac{40}{49}}=\frac{2\sqrt{10}}{7}.$$

Тогда: $$IJ=\frac{6}{\dfrac{2\sqrt{10}}{7}}=\frac{6\cdot7}{2\sqrt{10}}=\frac{21}{\sqrt{10}}=\frac{21\sqrt{10}}{10}.$$