Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) Пусть $Q$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $BC$ — хорда окружности с центром $O$ и радиусом $R$, проходящей также через точку $Q$.

Поскольку $Q$ — центр вписанной окружности, $CQ$ и $BQ$ — биссектрисы углов $C$ и $B$: $\angle ACQ=\angle BCQ=\frac{C}{2}$, $\angle ABQ=\angle CBQ=\frac{B}{2}$. Тогда $$\angle BCQ+\angle CBQ=\frac{B+C}{2}=\frac{\pi-\alpha}{2}.$$

Углы $\angle BCQ$ и $\angle CBQ$ — вписанные в окружность $O(R)$, они опираются на дуги $BQ$ и $CQ$. По теореме о вписанном угле дуга равна удвоенному вписанному углу, поэтому дуга $BQC$ (через $Q$) равна $$\overset\frown{BQC}=2\left(\angle BCQ+\angle CBQ\right)=\pi-\alpha.$$

Центральный угол, опирающийся на эту же дугу, равен ей самой, значит $\angle BOC=\pi-\alpha$ (это угол со стороны, где лежит $Q$, то есть внутри четырёхугольника $ABOC$).

Тогда $\angle BAC+\angle BOC=\alpha+(\pi-\alpha)=\pi$ — сумма противоположных углов четырёхугольника $ABOC$ равна $\pi$. По признаку вписанного четырёхугольника (сумма противоположных углов $180^\circ$) около $ABOC$ можно описать окружность. Доказано.

б) Если в $ABOC$ можно вписать окружность, то по теореме Пито (для тангенциального четырёхугольника) сумма противоположных сторон равны: $$AB+OC=AC+OB.$$ Так как $OB=OC=R$ (радиусы), получаем $AB=AC$, то есть треугольник $ABC$ равнобедренный с углом при вершине $\alpha=60^\circ$, значит он равносторонний.

Сторона $BC$ — хорда окружности $O(R)$, стягивающая центральный угол $\angle BOC=\pi-\alpha=120^\circ$. По формуле хорды $BC=2R\sin\frac{120^\circ}{2}=2R\sin60^\circ=R\sqrt3$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $R\sqrt3$: $$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}\left(R\sqrt3\right)^2=\frac{3\sqrt3}{4}R^2.$$

Площадь треугольника $BOC$ (равнобедренного, $OB=OC=R$, угол между ними $120^\circ$): $$S_{BOC}=\frac12R^2\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}R^2.$$

Суммируя, площадь четырёхугольника: $$S_{ABOC}=S_{ABC}+S_{BOC}=\frac{3\sqrt3}{4}R^2+\frac{\sqrt3}{4}R^2=\sqrt3R^2.$$

Периметр $ABOC$: стороны $AB=AC=BC=R\sqrt3$ (равносторонний треугольник) и $OB=OC=R$, поэтому полупериметр $$p=\frac{AB+BO+OC+CA}{2}=\frac{2R\sqrt3+2R}{2}=R(\sqrt3+1).$$

Радиус вписанной окружности четырёхугольника находится через $r=\dfrac{S}{p}$: $$r=\frac{\sqrt3R^2}{R(\sqrt3+1)}=\frac{R\sqrt3}{\sqrt3+1}=\frac{R\sqrt3(\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{R(3-\sqrt3)}{2}.$$

При $R=6$: $$r=\frac{6(3-\sqrt3)}{2}=3(3-\sqrt3).$$