ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Вписанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}Теорема Пифагора

Первая окружность проходит через вершины А и В треугольника ABC и пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Вторая окружность проходит через точки D и E и пересекает продолжения сторон BC и AC за вершину C в точках M и N соответственно.

а)  Докажите, что прямая MN параллельна прямой AB.

б)  Прямые MD и NE вторично пересекают первую окружность в точках X и Y соответственно. Найдите ее радиус, если A X=X Y=2, a AB  =  4.

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Используя вписанные углы, показать параллельность MN и AB (а затем XY и AB), получить равнобокую вписанную трапецию AXYB, из которой найти нужную хорду и применить теорему синусов для радиуса.

а) Точки A, B, D, E лежат на первой окружности, поэтому четырёхугольник ABED вписанный, и ∠ADE+∠ABE=180∘\angle ADE + \angle ABE = 180^\circ. Так как D лежит на AC, угол ∠CDE\angle CDE смежен с ∠ADE\angle ADE: ∠CDE=180∘−∠ADE=∠ABE\angle CDE = 180^\circ - \angle ADE = \angle ABE. Точки D, E, M, N лежат на второй окружности, и угол ∠CMN\angle CMN опирается на ту же дугу, что и ∠CDE\angle CDE, значит ∠CMN=∠CDE=∠ABE=∠ABC\angle CMN = \angle CDE = \angle ABE = \angle ABC. Равенство углов ∠CMN\angle CMN и ∠ABC\angle ABC при пересечении прямых MN и AB прямой BC — признак параллельности, поэтому MN∥ABMN \parallel AB.

б) Аналогично доказывается, что ∠DMN=∠DXY\angle DMN = \angle DXY, откуда MN∥XYMN \parallel XY, а значит и AB∥XYAB \parallel XY. Тогда AXYB — трапеция, вписанная в первую окружность, а вписанная трапеция обязательно равнобокая, поэтому AX=BY=2AX = BY = 2.

Опустим высоту XHXH на AB. Так как трапеция равнобокая, AH=AB−XY2=4−22=1AH = \dfrac{AB-XY}{2} = \dfrac{4-2}{2}=1. В прямоугольном треугольнике AHXAHX: cos⁡∠A=AHAX=12\cos\angle A = \dfrac{AH}{AX}=\dfrac12, значит ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, а XH=AX2−AH2=4−1=3XH=\sqrt{AX^2-AH^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt3.

Теперь найдём диагональ XBXB: HB=AB−AH=3HB = AB-AH = 3, поэтому XB=XH2+HB2=3+9=23XB=\sqrt{XH^2+HB^2}=\sqrt{3+9}=2\sqrt3.

По теореме синусов для вписанной в первую окружность хорды XB: 2R=XBsin⁡∠A=23sin⁡60∘=2332=42R=\dfrac{XB}{\sin\angle A}=\dfrac{2\sqrt3}{\sin60^\circ}=\dfrac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=4, откуда R=2R=2.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что вписанная трапеция обязательно равнобокая, и не используют равенство боковых сторон AX=BY.
  • Ошибаются при вычислении AH как половины разности оснований, забывая, что это применимо только для равнобокой трапеции.
  • Путают угол при вершине A трапеции с углом, который нужно подставлять в теорему синусов для хорды XB.
Непонятно?

Похожие задачи