Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и треугольники

а) По свойству вписанной окружности прямоугольного треугольника её центр лежит на биссектрисе острого угла. Треугольники $ACH$ и $BCH$ подобны исходному треугольнику $ABC$ (высота, опущенная из прямого угла, делит его на два треугольника, подобных исходному). Значит, $\angle HAC=\angle BCH$ (оба равны острому углу $A$ или его аналогу в подобном треугольнике). Луч $AO_1$ — биссектриса угла $HAC$, а $CO_2$ — биссектриса угла $HCB$, причём эти углы равны. Тогда $\angle O_1AC=\dfrac{1}{2}\angle HAC=\dfrac12\angle HCB=\angle O_2CB$. Так как $\angle ACB=90^\circ$, получаем $\angle O_1AC+\angle O_2CA=90^\circ$, а значит угол между прямыми $AO_1$ и $CO_2$ равен $90^\circ$.

б) Находим стороны: $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=25$, $CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=12$, $AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=16$, $BH=AB-AH=9$.

Касательные из вершин $H$ к вписанным окружностям равны $MH=\dfrac{AH+CH-AC}{2}=4$, $NH=\dfrac{BH+CH-BC}{2}=3$, значит $MN=MH-NH=1$.

Поскольку четырёхугольники $O_1KHM$ и $O_2LHN$ — квадраты (радиус вписанной окружности равен отрезку от вершины прямого угла до точки касания), то $O_1M=MH=4$, $O_2N=NH=3$, и оба отрезка перпендикулярны $MN$.

Площадь четырёхугольника $MO_1NO_2$ разбивается диагональю $MN$ на два треугольника: $$S=\dfrac{O_1M\cdot MN}{2}+\dfrac{O_2N\cdot MN}{2}=\dfrac{4\cdot1}{2}+\dfrac{3\cdot1}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5.$$