Задание 7 ЕГЭ: преобразования числовых логарифмических выражений

О чём эта подтема

Задание 7 профильного ЕГЭ проверяет умение работать с числовыми выражениями, где встречаются логарифмы, степени, корни и дробные показатели. В части заданий этого типа требуется вычислить значение выражения, состоящего из одного или нескольких логарифмов, без калькулятора. Успех здесь зависит не от сложных формул, а от аккуратного применения нескольких базовых свойств логарифма и умения видеть скрытые степени числа в аргументах. Задание оценивается в один балл, но именно на «простых» преобразованиях чаще всего теряются баллы из-за спешки и невнимательности к знакам и порядку действий.

В этой подтеме разбираются два типа выражений: сумма (или разность) логарифмов с одинаковым основанием, которую нужно свернуть в один логарифм, и произведение двух логарифмов с разными основаниями, каждый из которых вычисляется отдельно, если аргумент является точной степенью основания.

Что нужно знать

Для решения заданий этой подтемы достаточно твёрдо знать несколько формул.

1. Определение логарифма: $\log_a b = c$ означает, что $a^c = b$, при этом $a>0$, $a \neq 1$, $b>0$.

2. Логарифм произведения (свёртка суммы логарифмов): $$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy), \quad x>0,\ y>0.$$

3. Логарифм частного (свёртка разности логарифмов): $$\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right), \quad x>0,\ y>0.$$

4. Логарифм степени: $$\log_a \left(x^n\right) = n \log_a x.$$

5. Базовые значения: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\log_a \left(a^n\right) = n$.

6. Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.

7. Умение переводить десятичные дроби в обычные и видеть степени: например, $16 = 2^4$, $36 = 6^2$, $9 = 3^2$.

Важно понимать разницу между двумя приёмами. Если логарифмы с одинаковым основанием складываются или вычитаются, их можно объединить в один по формулам (2) и (3) — это снижает число логарифмов до одного, аргумент которого затем нужно свернуть до степени основания. Если же логарифмы стоят под знаком умножения и имеют разные основания, свёртка не работает: их нужно вычислить отдельно, если это возможно, а затем перемножить полученные числа.

Никакие сложные формулы перехода к новому основанию, формулы смены основания логарифма или логарифмические уравнения для этой подтемы не нужны — задание построено так, чтобы решаться через прямое применение свойств (2)–(6).

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения зависит от структуры выражения.

Случай А. Сумма или разность логарифмов с одинаковым основанием.

1. Проверить, что основание у всех логарифмов одно и то же.
2. Свернуть сумму в логарифм произведения, а разность — в логарифм частного.
3. Упростить получившийся аргумент: перемножить или разделить числа под логарифмом.
4. Представить итоговое число как степень основания: $\text{аргумент} = a^n$.
5. Записать ответ как показатель степени $n$.

Случай Б. Произведение (или другая операция) над логарифмами с разными основаниями.

1. Для каждого логарифма отдельно проверить, является ли аргумент точной степенью основания.
2. Если да — вычислить каждый логарифм по формуле $\log_a \left(a^n\right)=n$.
3. Подставить полученные числа в исходное выражение и выполнить арифметические операции (умножение, деление, сложение).

Ключевой навык — быстро узнавать степени небольших чисел: $2,4,8,16,32,64$; $3,9,27,81$; $5,25,125$; $6,36,216$ и так далее. Если аргумент не является точной степенью основания, но выражение в целом всё равно должно давать «красивое» число, стоит проверить, не скрыт ли ответ в сумме/разности показателей — часто такие задания составлены так, что промежуточный результат обязательно получается целым.

При работе с десятичными дробями удобно сразу переводить их в обычные дроби: $1{,}8 = \dfrac{9}{5}$. Это облегчает последующее умножение и приведение к степени основания.

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $$\log_3 1{,}8 + \log_3 5.$$

Шаг 1. Основание у обоих логарифмов одинаковое — это $3$. Значит, можно применить формулу логарифма произведения: $$\log_3 1{,}8 + \log_3 5 = \log_3 (1{,}8 \cdot 5).$$

Шаг 2. Вычислим произведение под логарифмом. Удобно перевести $1{,}8$ в дробь: $1{,}8 = \dfrac{9}{5}$. Тогда $$1{,}8 \cdot 5 = \frac{9}{5} \cdot 5 = 9.$$

Шаг 3. Получили $\log_3 9$. Заметим, что $9 = 3^2$, поэтому $$\log_3 9 = \log_3 \left(3^2\right) = 2.$$

Ответ: $2$.

Этот пример показывает типичную схему: сумма логарифмов с одним основанием сворачивается в один логарифм, а затем аргумент представляется как степень основания.

Пример 2. Найдите значение выражения $$\left(\log_2 16\right) \cdot \left(\log_6 36\right).$$

Здесь основания у логарифмов разные — $2$ и $6$, а операция между ними не сложение, а умножение. Свёртывать такие логарифмы в один нельзя: нужно вычислить каждый отдельно и затем перемножить результаты.

Шаг 1. Вычислим $\log_2 16$. Заметим, что $16 = 2^4$, значит $$\log_2 16 = \log_2 \left(2^4\right) = 4.$$

Шаг 2. Вычислим $\log_6 36$. Заметим, что $36 = 6^2$, значит $$\log_6 36 = \log_6 \left(6^2\right) = 2.$$

Шаг 3. Подставим найденные значения в исходное выражение: $$\left(\log_2 16\right) \cdot \left(\log_6 36\right) = 4 \cdot 2 = 8.$$

Ответ: $8$.

Сравнение двух примеров показывает главное правило подтемы: если между логарифмами стоит знак «плюс» или «минус» и основания совпадают — сворачиваем в один логарифм; если стоит знак умножения (или основания разные) — вычисляем каждый логарифм отдельно, а затем выполняем арифметику с готовыми числами.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Применение формулы суммы к произведению логарифмов. Часто пытаются «на автомате» превратить $\left(\log_2 16\right)\cdot\left(\log_6 36\right)$ в $\log_{12} \left(16 \cdot 36\right)$ или подобную конструкцию. Такой переход неверен: формула $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ работает только для суммы логарифмов с одинаковым основанием, а не для их произведения.

Ошибка 2. Неверный перевод десятичной дроби в обычную. Ошибки вида $1{,}8 = \dfrac{18}{10}$, но забытое сокращение до $\dfrac{9}{5}$, приводят к громоздким вычислениям и повышают риск арифметической ошибки при умножении.

Ошибка 3. Пропуск проверки основания. Перед сворачиванием суммы логарифмов важно убедиться, что основания действительно одинаковы. Если основания разные, сумму сворачивать нельзя, и нужно искать другой путь — например, вычислять каждый логарифм отдельно, если это возможно.

Ошибка 4. Ошибка в показателе степени. При переходе от $\log_a\left(a^n\right)$ к числу $n$ иногда путают показатель с самим числом: например, ошибочно считают $\log_2 16 = 16$ вместо правильного $\log_2 16 = 4$, забывая, что логарифм — это именно показатель степени, а не сам аргумент.

Ошибка 5. Излишнее усложнение решения. Иногда пытаются применить формулу перехода к новому основанию там, где она не нужна: если аргумент — точная степень основания, логарифм вычисляется мгновенно без всякой смены основания. Использование сложных формул увеличивает риск вычислительной ошибки и тратит время экзамена.

На что обратить внимание на экзамене

Задание 7 требует записать только числовой ответ, поэтому проверяйте, что итоговое число целое или представлено в нужном формате (десятичная дробь, если требуется). Перед началом решения посмотрите на знак операции между логарифмами: плюс или минус — сворачиваем в один логарифм; умножение — вычисляем каждый логарифм отдельно.

Тренируйте быстрое распознавание степеней небольших чисел: $2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ 2^5=32$; аналогично для оснований $3, 5, 6, 7$. Это экономит время и снижает риск ошибки при устном вычислении.

Всегда переводите десятичные дроби в обыкновенные перед умножением или делением под логарифмом — так проще заметить сокращения и получить целый аргумент.

Проверяйте область допустимых значений логарифма: аргумент должен быть положительным, а основание — положительным и не равным единице. В заданиях этой подтемы условие обычно построено так, что ограничения выполняются автоматически, но привычка проверять убережёт от ошибок в более сложных вариантах задания.

Наконец, не бойтесь промежуточных вычислений в столбик или на черновике: даже простое задание на один балл стоит того, чтобы прописать каждый шаг — это минимизирует потери из-за невнимательности при переносе чисел.