Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых логарифмических выражений

Разберём выражение по частям.

Первое слагаемое: $3^{\log_3 7}$

Здесь работает основное свойство логарифма: если основание степени совпадает с основанием логарифма, то $a^{\log_a b} = b$.

Поэтому $3^{\log_3 7} = 7$.

Второе слагаемое: $49^{\log_7 \sqrt{13}}$

Заметим, что $49 = 7^2$. Подставим:

$$49^{\log_7 \sqrt{13}} = (7^2)^{\log_7 \sqrt{13}}$$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$$(7^2)^{\log_7 \sqrt{13}} = 7^{2 \cdot \log_7 \sqrt{13}}$$

Преобразуем показатель, используя свойство $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:

$$7^{2 \cdot \log_7 \sqrt{13}} = 7^{\log_7 (\sqrt{13})^2}$$

Вычислим $(\sqrt{13})^2 = 13$:

$$7^{\log_7 13} = 13$$

Опять применили основное свойство логарифма.

Итог:

$$3^{\log_3 7} + 49^{\log_7 \sqrt{13}} = 7 + 13 = 20$$