Задание 7 ЕГЭ профиль: вычисления и преобразования выражений

Что проверяет задание

Задание 7 проверяет умение работать с выражениями разной природы: рациональными дробями, степенями, корнями, логарифмами и тригонометрическими функциями. Здесь не нужно решать уравнения — нужно упростить выражение или вычислить его значение, применяя формулы сокращённого умножения, свойства степеней, логарифмов и тригонометрические тождества.

Основная сложность — не в сложности вычислений, а в том, чтобы увидеть, какую формулу применить и в каком порядке действовать. Часто задание построено так, что после верного преобразования большая часть выражения сокращается, и остаётся простой числовой ответ.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «Найдите значение выражения...»
• «Упростите выражение...»
• «Вычислите...»

Задание находится в первой части экзамена, ответом служит число (или, реже, дробь/выражение), которое нужно записать без единиц измерения. За верное решение даётся 1 балл. Ошибка в вычислениях или знаках сводит балл к нулю — здесь нет частичного зачёта, поэтому важна точность на каждом шаге.

Что нужно знать

Формулы сокращённого умножения:

• $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
• $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
• $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
• $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

Свойства степеней:

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n b^n$
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, $a^0=1$ (при $a\neq0$)
• $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$

Свойства корней:

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ (при неотрицательных $a,b$)
• $\sqrt{a^2}=|a|$
• $\sqrt[n]{a^n}=a$, если $n$ нечётное; $\sqrt[n]{a^n}=|a|$, если $n$ чётное

Свойства логарифмов:

• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
• $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$
• $\log_a x^p=p\log_a x$
• $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ (переход к новому основанию)
• $a^{\log_a b}=b$

Тригонометрические тождества:

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
• $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
• Формулы двойного угла: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
• Формулы сложения: $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

Методы решения

1. Метод формул сокращённого умножения (рациональные и алгебраические выражения). Применяется, когда в выражении видны структуры вида $(a-b)^2$ или $(a-b)(a+b)$. Задача сводится к их раскрытию и приведению подобных.

Пример: упростить $\dfrac{a^2-b^2}{a-b}$. Числитель раскладывается: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, значит выражение равно $a+b$.

2. Приведение степеней к общему основанию. Если в выражении встречаются разные основания, их надо разложить на простые множители и привести к одному основанию, чтобы использовать свойства степеней.

Пример: $\dfrac{2^5\cdot3^3}{6^3}=\dfrac{2^5\cdot3^3}{2^3\cdot3^3}=2^{5-3}=4$.

3. Освобождение от иррациональности и работа с дробными показателями. Корни переводятся в степени с дробным показателем, после чего применяются обычные свойства степеней; либо используется умножение на сопряжённое выражение.

Пример: $\dfrac{1}{\sqrt5-2}=\dfrac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}=\dfrac{\sqrt5+2}{5-4}=\sqrt5+2$.

4. Применение свойств логарифмов для свёртывания/развёртывания выражения. Сумма или разность логарифмов сворачивается в логарифм произведения или частного; степень под логарифмом выносится множителем.

Пример: $\log_2 12-\log_2 3=\log_2\dfrac{12}{3}=\log_2 4=2$.

5. Использование основного тригонометрического тождества и формул двойного угла. Позволяет заменить $\sin^2\alpha$ на $1-\cos^2\alpha$ или свернуть выражение через формулу двойного угла.

Пример: $2\sin15^\circ\cos15^\circ=\sin30^\circ=0{,}5$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определите тип выражения — рациональное, степенное, иррациональное, логарифмическое или тригонометрическое. От этого зависит набор формул.
2. Найдите в выражении «узнаваемые» структуры: квадрат суммы/разности, разность квадратов, произведение сопряжённых, сумма логарифмов и т.п.
3. Примените соответствующую формулу, раскрыв скобки или, наоборот, свернув выражение — в зависимости от того, что упрощает дальнейшие вычисления.
4. Приведите подобные слагаемые, сократите общие множители в числителе и знаменателе.
5. Подставьте числовые значения (если они даны в условии) только после максимального упрощения выражения — так вычисления будут проще и без ошибок.
6. Проверьте ответ на разумность: если получилось громоздкое иррациональное число там, где ожидался «красивый» ответ, вероятно, где-то допущена ошибка.

Разбор примеров

Пример 1. Найдите значение выражения $$\left(4x^2+y^2-(2x-y)^2\right):(2xy).$$

Шаг 1. Раскроем квадрат разности в числителе: $$(2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2.$$

Шаг 2. Подставим это в выражение: $$4x^2+y^2-(4x^2-4xy+y^2)=4x^2+y^2-4x^2+4xy-y^2=4xy.$$ Слагаемые с $x^2$ и $y^2$ взаимно уничтожились, остаётся только $4xy$.

Шаг 3. Делим на $2xy$ (при $xy\neq0$): $$\frac{4xy}{2xy}=2.$$

Ответ: 2.

---

Пример 2. Найдите значение выражения $$(7x-13)(7x+13)-49x^2+6x+22$$ при $x=80$.

Шаг 1. Раскроем разность квадратов по формуле $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $$(7x-13)(7x+13)=49x^2-169.$$

Шаг 2. Подставим в выражение и приведём подобные — слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются: $$49x^2-169-49x^2+6x+22=6x-147.$$

Шаг 3. Подставим $x=80$: $$6\cdot80-147=480-147=333.$$

Ответ: 333.

---

Пример 3. Найдите значение выражения $$\frac{2^{3{,}5}\cdot3^{5{,}5}}{6^{4{,}5}}.$$

Шаг 1. Разложим основание $6$ на множители: $6^{4{,}5}=(2\cdot3)^{4{,}5}=2^{4{,}5}\cdot3^{4{,}5}$. Это позволяет сравнить степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе: $$\frac{2^{3{,}5}\cdot3^{5{,}5}}{2^{4{,}5}\cdot3^{4{,}5}}.$$

Шаг 2. Применим свойство $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ отдельно для оснований 2 и 3: $$2^{3{,}5-4{,}5}\cdot3^{5{,}5-4{,}5}=2^{-1}\cdot3^{1}.$$

Шаг 3. Вычислим: $$2^{-1}\cdot3=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

Ответ: 1,5.

Типичные ошибки и ловушки

• Ошибки знаков при раскрытии скобок. Особенно часто теряется минус перед скобкой, когда раскрывается $(a-b)^2$ внутри выражения со знаком «минус» перед всей скобкой.
• Забывают про модуль при извлечении корня чётной степени. $\sqrt{a^2}=|a|$, а не просто $a$ — это критично, если знак переменной неизвестен.
• Складывают степени с разными основаниями напрямую. Свойство $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ работает только при одинаковом основании $a$; сначала нужно привести основания к общему виду.
• Применяют формулы логарифма без учёта области определения — например, сворачивают $\log_a x+\log_a y$ в $\log_a(xy)$ без проверки, что $x>0$ и $y>0$.
• Подставляют числовые значения слишком рано, до упрощения выражения — это увеличивает объём вычислений и риск арифметической ошибки.
• Путают формулы двойного и половинного угла, особенно знаки при $\cos2\alpha$ в разных формах записи.
• Забывают об ограничениях на переменные (например, $xy\neq0$ при делении), хотя для итогового числового ответа это редко влияет, но важно для понимания структуры решения.

Как готовиться

Заведите отдельный список формул по каждой подтеме (степени, корни, логарифмы, тригонометрия) и повторяйте его перед решением задач — большинство ошибок связано именно с забытой или неверно применённой формулой. Решайте задания вразброс, не по одной подтеме подряд: на реальном экзамене тип выражения заранее неизвестен, и нужно быстро распознавать структуру.

При разборе каждого примера проговаривайте вслух, какую формулу вы применяете и почему — это тренирует узнавание паттернов. Отдельно отрабатывайте вычисления с дробными и отрицательными показателями степени, а также действия с логарифмами по разным основаниям — здесь чаще всего теряются баллы из-за невнимательности, а не из-за незнания теории. Регулярно решайте по 5–10 заданий этого типа, постепенно увеличивая скорость без потери точности.