Задание 7 ЕГЭ: вычисление значений тригонометрических выражений

О чём эта подтема

В задании 7 профильного ЕГЭ часто встречается такая формулировка: дано значение одной тригонометрической функции угла (например, синуса или косинуса) и указан промежуток, которому принадлежит угол — то есть известна четверть. Требуется найти значение другой функции того же угла: тангенс, котангенс, синус или косинус.

Задача проверяет три навыка одновременно: знание основного тригонометрического тождества и формул связи между функциями, умение определять знак функции по четверти и аккуратность в вычислениях с корнями и дробями. Никакой сложной теории здесь нет — задача решается по чёткому алгоритму, который стоит один раз разобрать и запомнить навсегда.

Важно понимать: одного числового значения (например, $\cos\alpha$) недостаточно, чтобы однозначно определить $\sin\alpha$ — уравнение $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ даёт два корня, отличающихся знаком. Именно указание четверти (промежутка для $\alpha$) снимает эту неоднозначность и позволяет выбрать единственный правильный знак.

Что нужно знать

Для решения задач этой подтемы достаточно небольшого набора фактов.

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$$ Из него легко выразить одну функцию через другую: $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha.$$

Определение тангенса и котангенса: $$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\tan\alpha}.$$

Связь тангенса с косинусом (полезная формула для быстрого счёта): $$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}.$$ Аналогично для котангенса: $$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}.$$

Знаки тригонометрических функций по четвертям. Это ключевая информация, без которой задача не решается однозначно:

• I четверть $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$: $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha > 0$.
• II четверть $\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$: $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha < 0$.
• III четверть $\left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right)$: $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha > 0$.
• IV четверть $\left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$: $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha < 0$.

Запомнить это проще через фразу «синус — по вертикали, косинус — по горизонтали»: синус положителен там, где угол «выше оси» (I и II четверти), косинус положителен там, где угол «правее оси» (I и IV четверти). Тангенс и котангенс положительны там, где синус и косинус совпадают по знаку (I и III четверти).

Работа с корнями. При извлечении квадратного корня из $\sin^2\alpha$ или $\cos^2\alpha$ получается выражение со знаком $\pm$, и именно четверть подсказывает, какой знак взять. Не забывайте про рационализацию знаменателя: $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$ — на экзамене это часто требуется для аккуратной записи ответа.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач этого типа почти всегда одинаковый.

Шаг 1. Выписать данные. Зафиксировать, какая функция дана (синус или косинус), её числовое значение и промежуток (четверть), которому принадлежит угол.

Шаг 2. Определить знаки нужных функций в этой четверти. Прежде чем считать, полезно сразу сказать: «в этой четверти синус такой-то знак, косинус такой-то знак, тангенс такой-то знак». Это избавит от ошибок на финальном шаге.

Шаг 3. Найти квадрат недостающей функции через основное тождество. $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \quad \text{или} \quad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha.$$

Шаг 4. Извлечь корень и выбрать знак, ориентируясь на четверть, определённую на шаге 2.

Шаг 5. Составить искомое выражение, если нужен не сам синус/косинус, а тангенс или котангенс — подставить найденные значения в формулу $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Шаг 6. Упростить ответ: сократить дробь, избавиться от корня в знаменателе, проверить знак итогового числа на соответствие четверти (тангенс в III и I четвертях положителен, во II и IV — отрицателен).

Этот алгоритм универсален и работает независимо от того, что дано — синус или косинус, и что нужно найти.

Разбор примера

Пример 1. Найдите $\tan\alpha$, если $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$.

Шаг 1. Дано: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$, угол лежит в промежутке $\left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ — это IV четверть.

Шаг 2. В IV четверти косинус положителен (это согласуется с данным значением — хороший знак, ошибок в условии нет), а синус отрицателен. Значит, тангенс как отношение отрицательного к положительному будет отрицательным. Это стоит держать в голове для проверки финального ответа.

Шаг 3. Найдём $\sin^2\alpha$ через основное тождество: $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}.$$

Шаг 4. Извлечём корень: $$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{10}} = \pm\frac{3}{\sqrt{10}} = \pm\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$ Поскольку в IV четверти синус отрицателен (шаг 2), выбираем знак минус: $$\sin\alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

Шаг 5. Составим тангенс: $$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}}{\dfrac{\sqrt{10}}{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = -3.$$

Шаг 6. Знак ответа отрицательный, что совпадает с предсказанием на шаге 2. Ответ: $\tan\alpha = -3$.

Пример 2. Найдите $\tan\alpha$, если $\sin\alpha = -\dfrac{5}{\sqrt{26}}$ и $\alpha \in \left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right)$.

Шаг 1. Дано: $\sin\alpha = -\dfrac{5}{\sqrt{26}}$, промежуток $\left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right)$ — это III четверть.

Шаг 2. В III четверти и синус, и косинус отрицательны (данный синус действительно отрицателен, всё согласуется), а тангенс, как отношение двух отрицательных чисел, положителен. Запоминаем: ответ должен получиться положительным.

Шаг 3. Найдём $\cos^2\alpha$: $$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}.$$

Шаг 4. Извлечём корень: $$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{26}} = \pm\frac{1}{\sqrt{26}}.$$ В III четверти косинус отрицателен, поэтому: $$\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}}.$$

Шаг 5. Составим тангенс: $$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\dfrac{5}{\sqrt{26}}}{-\dfrac{1}{\sqrt{26}}} = \frac{5}{1} = 5.$$

Шаг 6. Знак положительный — совпадает с прогнозом на шаге 2. Ответ: $\tan\alpha = 5$.

Оба примера показывают одинаковую логику: сначала определяем знаки по четверти, затем через основное тождество находим квадрат недостающей функции, извлекаем корень с нужным знаком и составляем итоговое выражение.

Типичные ошибки

Забыли учесть знак после извлечения корня. Самая частая ошибка — взять корень со знаком «плюс» по умолчанию, не сверяясь с четвертью. Основное тождество даёт квадрат, а квадратный корень из положительного числа имеет два значения; выбор знака — отдельный обязательный шаг, который нельзя пропускать.

Путаница в границах четвертей. Иногда путают, какому промежутку соответствует какая четверть, особенно когда углы записаны через $\dfrac{3\pi}{2}$ и $2\pi$. Полезно держать перед глазами простую схему координатной окружности с обозначенными четвертями и знаками функций в каждой.

Ошибки при возведении в квадрат дробей с корнем. При вычислении $\left(\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)^2$ иногда забывают, что квадрат корня даёт подкоренное число, и получают неверные промежуточные значения. Нужно аккуратно: $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{b}\right)^2 = \dfrac{a}{b^2}$.

Неверное упрощение дроби с корнями в числителе и знаменателе. При делении $\dfrac{3\sqrt{10}/10}{\sqrt{10}/10}$ иногда пытаются сокращать по отдельности числители и знаменатели дробей, а не рассматривать всю дробь как деление одной дроби на другую. Правильный приём — умножить числитель на обратную величину знаменателя.

Пропуск проверки знака ответа. Даже если промежуточные вычисления верны, полезно в конце сверить знак получившегося числа со знаком, который предсказан по четверти на шаге 2. Если знаки не совпали — где-то допущена арифметическая ошибка, и это сигнал вернуться и перепроверить вычисления.

Забыли про основное тождество и пытаются угадывать значение. Иногда пытаются подобрать «красивое» значение функции без использования тождества — это ненадёжно и приводит к ошибкам, особенно когда числа не являются табличными.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как приступать к вычислениям, обязательно определите четверть по данному промежутку и сразу пропишите знаки всех трёх основных функций (синус, косинус, тангенс) в этой четверти — это займёт секунды, но избавит от большинства ошибок.

Следите за арифметикой при работе с дробями и корнями: возведение в квадрат дроби с корнем, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — именно здесь чаще всего теряются баллы, а не в понимании метода.

Обязательно приводите итоговый ответ к простому виду: если в ответе остаётся корень в знаменателе, избавьтесь от него, умножив числитель и знаменатель на этот корень. Проверяющие ожидают ответ в стандартной, упрощённой форме.

В конце решения сверяйте знак полученного ответа со знаком, который вы определили по четверти в самом начале. Это простой, но очень надёжный способ самопроверки, который позволяет поймать ошибку до того, как ответ будет записан в бланк.

Если в задаче фигурирует тангенс или котангенс как исходные данные, а нужно найти синус или косинус, можно пойти другим путём — через формулу $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$, минуя промежуточное вычисление синуса. Это иногда быстрее и снижает риск арифметической ошибки, хотя итоговый результат будет тем же самым, что и при использовании основного тождества.