ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите тангенс в квадрате альфа , если 5 синус в квадрате альфа плюс 13 косинус в квадрате альфа =6.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Используется основное тригонометрическое тождество для замены единицы, после чего всё выражение сводится к отношению синуса к косинусу — то есть к квадрату тангенса.

Начнём с заданного уравнения: 5sin⁡2α+13cos⁡2α=65\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 6

Правую часть переписываем, используя основное тригонометрическое тождество sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1: 5sin⁡2α+13cos⁡2α=6(sin⁡2α+cos⁡2α)5\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 6(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)

Раскроем скобки в правой части: 5sin⁡2α+13cos⁡2α=6sin⁡2α+6cos⁡2α5\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 6\sin^2\alpha + 6\cos^2\alpha

Перенесём все в одну сторону, группируя синусы и косинусы: 5sin⁡2α−6sin⁡2α+13cos⁡2α−6cos⁡2α=05\sin^2\alpha - 6\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha - 6\cos^2\alpha = 0

Упростим: −sin⁡2α+7cos⁡2α=0-\sin^2\alpha + 7\cos^2\alpha = 0

Перенесём sin⁡2α\sin^2\alpha в правую часть: 7cos⁡2α=sin⁡2α7\cos^2\alpha = \sin^2\alpha

Разделим обе части на cos⁡2α\cos^2\alpha (при условии cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0): 7=sin⁡2αcos⁡2α7 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}

По определению тангенса, tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, поэтому: tan⁡2α=sin⁡2αcos⁡2α=7\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 7

Типичные ошибки

  • Забыть заменить 6 на 6(sin⁡2α+cos⁡2α)6(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) — ошибка приведёт к неправильному упрощению
  • Неверно раскрыть скобки при умножении 6 на сумму синуса и косинуса в квадрате
  • Разделить на cos⁡2α\cos^2\alpha без проверки, что он не равен нулю (хотя здесь это допустимо, так как уравнение имеет решение)
Непонятно?

Похожие задачи