Задача 26775. Вычисление значений тригонометрических выражений

1. Определяем четверть и знак тангенса

Угол $\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ лежит в четвёртой четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен. Следовательно, $\tan \alpha < 0$.

2. Находим $\sin \alpha$ через основное тригонометрическое тождество

Используем формулу: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$

Так как $\alpha$ в четвёртой четверти, $\sin \alpha < 0$: $$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}}$$

3. Вычисляем тангенс

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} = -\frac{30}{10} = -3$$