ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Вычисление значений тригонометрических выражений

Задача 26783. Вычисление значений тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

Найдите значение выражения 5 тангенс левая круглая скобка 5 Пи минус гамма правая круглая скобка минус тангенс левая круглая скобка минус гамма правая круглая скобка , если тангенс гамма =7.

В подтеме 31 задач
Разбор
Главная идея: Используй периодичность тангенса (период π\pi) для упрощения аргумента, затем нечётность функции, и вычисли полученное выражение через известное значение тангенса.

Разберём выражение пошагово.

Шаг 1. Упростим первый тангенс, используя периодичность.

Тангенс имеет период π\pi, поэтому tan⁡(5π−γ)=tan⁡(5π−γ−5π)=tan⁡(−γ)\tan(5\pi - \gamma) = \tan(5\pi - \gamma - 5\pi) = \tan(-\gamma).

Мы вычли из аргумента 5π5\pi (пять полных периодов), и функция не изменилась.

Шаг 2. Упростим второй тангенс, используя нечётность.

Тангенс — нечётная функция: tan⁡(−γ)=−tan⁡(γ)\tan(-\gamma) = -\tan(\gamma).

Шаг 3. Подставим упрощённые выражения в исходное.

5tan⁡(5π−γ)−tan⁡(−γ)=5tan⁡(−γ)−tan⁡(−γ)5\tan(5\pi - \gamma) - \tan(-\gamma) = 5\tan(-\gamma) - \tan(-\gamma)

=5⋅(−tan⁡(γ))−(−tan⁡(γ))= 5 \cdot (-\tan(\gamma)) - (-\tan(\gamma))

=−5tan⁡(γ)+tan⁡(γ)= -5\tan(\gamma) + \tan(\gamma)

=−4tan⁡(γ)= -4\tan(\gamma)

Шаг 4. Подставим tan⁡(γ)=7\tan(\gamma) = 7.

−4⋅7=−28-4 \cdot 7 = -28

Типичные ошибки

  • Забыли, что период тангенса равен π\pi, а не 2π2\pi — это вводит в ошибку при работе с углами вида 5π−γ5\pi - \gamma.
  • Не применили нечётность tan⁡(−γ)=−tan⁡(γ)\tan(-\gamma) = -\tan(\gamma) и оставили минусы неразобранными в исходной форме.
  • Ошибка в алгебраическом преобразовании: вместо −5tan⁡(γ)+tan⁡(γ)=−4tan⁡(γ)-5\tan(\gamma) + \tan(\gamma) = -4\tan(\gamma) написали 6tan⁡(γ)6\tan(\gamma) или другое неправильное выражение.

Ещё задачи этой подтемы